Вычисление криволинейных интегралов второго рода

    Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями    x=X(t), y=Y(t),  z=Z(t), где   тогда          P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= [P(t)∙ +Q(t)∙ +R(t) ]dt    (2.4)

Пример: вычислить работу векторного поля силы  при движении материальной точки вдоль дуги   L  винтовой линии:

x=Rcost; y=Rsint; z=   от

dx=-Rsint dt;  dy=Rcost dt;   dz=

=

=

Вычислим первый интеграл, используя формулу «интегрирования по частям»:

Вычислим второй интеграл:

Третий интеграл в заданных пределах будет равен нулю.

Тогда

Пример: вычислить работу силового поля  вдоль отрезка   AB, соединяющего точки   A(2;3;4) и   B(3;4;5).

Находим каноническое уравнение прямой AB:

Переходим к параметрическому уравнению прямой линии   АВ:

  ,

следовательно,   х=t+2;  y=t+3;  z=t+4, где параметр   t_A t t_B, т.е. 0 t 1, тогда    dx=dy=dz=dt   и

Пример: вычислите работу силового поля   вдоль параболы   y=x²   от точки (0;0) до точки (1;1).

т.к.    y=x²,    то  dy=2xdx

Пример: вычислите работу силового поля    вдоль контура треугольника ABC, если вершины треугольника имеют координаты:   А(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1).

Т.к. треугольник ограничен тремя разными прямыми линиями, то работа будет равна сумме работ, совершаемых вдоль отрезков, т.е. А=A₁+A₂+A₃, где А₁ – работа, вдоль прямой AB;    А₂ – работа вдоль ВС;    А₃ – работа вдоль CA. Вычислим работу вдоль линии AB. Находим канонические и параметрические уравнения всех трех прямых. Найдем каноническое уравнение прямой АВ и соответствующее ему параметрическое уравнение:  

;

т.е.    x=-t+1;   y=t;   z=0;   dx=-dt;  dy=dt;  dz=0

 

Вычислим работу вдоль линии BC. Найдем каноническое уравнение прямой линии ВС и соответствующее параметрическое уравнение прямой:

= = ; = = =t,

тогда    x=0;  y=-t+1;   z=t;   dx=0;   dy=-dt;  dz=dt

Вычислим работу вдоль прямой СА. Найдем каноническое уравнение прямой СА и соответствующее параметрическое уравнение:

;

тогда   х=t;  y=0;   z=-t+1;  dx=dt;  dy=0;  dz = -dt