Метод проектирования на три координатные плоскости

В соответствии с формулами (3.1), (3.2), (3.3) вычисление поверхностного интеграла второго рода может быть сведено к вычислению трех двойных интегралов по проекциям области S на соответствующие координатные плоскости. Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S: если нормаль к поверхности с соответствующей осью координат образует острый угол, то берется знак «плюс», а если тупой угол – знак «минус».

Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода

если S – верхняя сторона плоскости 2x – 3y + z = 6

рис. 3.2

Проектируем поверхность S на плоскость YOZ:

Тогда

рис.3.3 где из уравнения плоскости , тогда получим двойной интеграл по проекции S на YOZ.

Так как нормаль с осью OX составляет острый угол, то в общей сумме этот интеграл возьмем со знаком «плюс», т.е. I₁ = 6.

Проектируем поверхность S на плоскость XOZ. Проекция является также треугольником, ограниченным наклонной линией и отрезками координатных осей.

рис. 3.4

Тогда, соответствующий поверхностный интеграл примет вид:

Но так как нормаль к поверхности S составляет с осью OY тупой угол, то в общей сумме этот интеграл возьмем со знаком «минус», т.е. I₂ = -18.

Проектируем поверхность S на плоскость XOY:

рис. 3.5

Тогда

Так как нормаль к поверхности S составляет с осью OZ острый угол, то в общей сумме этот интеграл возьмем со знаком «плюс», т.е. I₃ = 15.

Тогда, окончательный результат:

3.1.2.Связь между поверхностными интегралами

первого и второго рода.

Пусть S – поверхность, заданная уравнением z=f(x,y), где функции f(x,y), f '_x(x,y), f '_y(x,y) - непрерывны в замкнутой области D_xy – проекции поверхности S на плоскость XOY, а функция R(x,y,z) – непрерывна на поверхности S. Выберем верхнюю сторону поверхности S.

Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких кривых на n частей ∆S₁, ∆S₂,… ∆S_n. Проекциями этих линий область D_xy разобьется на части, обозначенные соответственно ∆σ₁, ∆σ₂,… ∆σ_n.

При этом

где P_i – некоторая точка области .

Обозначим через М_i точку поверхности _,соответствующую точке P_i, а через – острый угол, образованный нормалью к поверхности S в точке М_i с осью OZ. Тогда

Составляя интегральную сумму для поверхностного интеграла второго рода по верхней стороне поверхности S, получим:

Сумма является интегральной суммой для интеграла первого рода по поверхности S от функции R(x,y,z) [ – угол, составленный с осью OZ нормалью в текущей точке M(x,y,z) к поверхности S в выбранную сторону поверхности]. При стремлении шага разбиения к нулю в пределе будем иметь:

Аналогичные формулы при соответствующих условиях имеют место для двух других составляющих поверхностного интеграла. Суммируя, получаем формулу вычисления поверхностного интеграла второго рода через поверхностный интеграл первого рода: