Интегрирование комплексных функций

Возможны разные подходы к определению понятия интеграла от комплексной функции. Так, например, - функции двух переменных, тогда можно вычислять двойные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в комплексное число вида . Однако в качестве основного всё же исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной , а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:

Определение. Пусть в области задана некоторая функция (не обязательно аналитическая), и в области расположена кусочно-гладкая кривая (не обязательно замкнутая). Введём разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек , расположенных по порядку на кривой, где - начальная и конечная точки. Обозначим . Выберем на каждом участке дуги какую-то точку и составим интегральную сумму: . Предел интегральных сумм при измельчении разбиения, т.е. при , называется интегралом от функции по кривой и обозначается .

Метод вычисления. При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть:

= .

Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей и , а мнимая единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.

Некоторые свойства.

1. Линейность = .

2. Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то:

3. .

4. Если то , где - длина кривой АВ.

Пример. Вычислить интеграл :

А) по прямолинейному отрезку от 0 до .

Б) по параболе от 0 до .

Решение.

А) = =

, далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором , заменяем , .

При этом . = = .

Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае: но теперь линия это не отрезок, заданный явным уравнением , а парабола, заданная явным уравнением . Поэтому заменяем , .

= =

= .

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .

Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, но это здесь потому, что функция не аналитическая, она содержит , а мы доказывали теорему 4 в конце прошлого § о том, что аналитичность равносильна отсутствию в составе функции, то есть тому, что .