2020-04-07
189
Функция 
фактически задаёт отображение плоскости в плоскости, то есть пара действительных чисел 
отображается в пару чисел 
. Для двух функций 
и 
существуют 4 частных производных: 
.
Определение производной. Производной функции 
в точке 
называется следующий предел: 
.
Также можно кратко записать в виде 
.
Заметим, что все величины в этой дроби, существуют и вычислимы, ведь здесь частное от разностей комплексных чисел.
Определение дифференцируемости. Функция 
называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: 
, где 
некоторое комплексное число, 
- бесконечно малая более высокого порядка, чем 
.
Заметим, что если функция дифференцируема, то 
, но тогда т.е. 
тогда 
, т.е. константа 
.
Геометрический смысл производной. Так как с точностью до бесконечно-малой, можно представить 
, а это линейное отображение, изученное в конце прошлой лекции, то в малой окрестности отображение представимо в виде растяжения и поворота, где 
это угол поворота, а 
- коэффициент растяжения.
Изучим взаимосвязь дифференцируемости с дифференцируемостью координатных функций и .
Теорема 1. Функция дифференцируема 
и дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана:
и 
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема, выведем условия Коши-Римана. Запишем подробнее равенство из определения дифференцируемости: . 
.
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которых есть и в которых нет мнимой единицы.
Получается такая система из двух равенств:
Выразим константу 
двумя способами из этих равенств. Если в 1-м уравнении задать приращение только по оси 
, тогда 
, то 
= 
, так как 
бесконечно малая более высокого порядка, так что при делении на величину 
первого порядка предел равен 0.
Итак, 
.
Если теперь во 2-м уравнении рассмотреть приращение только по оси 
, то аналогично получится 
= 
, т.е. 
. Итак, 
.
По аналогии с этими рассуждениями, если в 1-м равенстве вычислять предел при сдвиге только по оси , а во 2-м по , получим
, 
, откуда второе условие Коши-Римана 
.
Достаточность.
Пусть выполнены условия Коши-Римана 
и 
.
Тогда производная матрица отображения 
содержит не 4 разных константы, а две из них выражаются через две другие, то есть матрица имеет вид: 
.
Тогда, с точностью до бесконечно-малых, 
.
Тогда
,
Сложим эти 2 равенства, умножив при этом второе на 
. Получим:
, то есть , что и означает дифференцируемость .
Теорема доказана.
Вывод. Итак, и должны быть взаимосвязаны, т.е. если мы произвольно зададим две какие-то функции , и составим из них 
, то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию.
Пример. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции 
.
= 
= 
= 
.
, 
.
, 
они равны (1-е условие Коши-Римана).
, 
они противоположны (а это и есть
2-е условие Коши-Римана).
А сейчас мы рассмотрим функцию, для которой не выполнены условия Коши-Римана.
Пример. 
. Тогда 
, 
. Не выполняется 1-е условие: 
, 
, они не равны ни в одной точке. Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости .
