Алгоритм восстановления аналитической функции по её действительной или мнимой части

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, и далее всю функцию .

Например, нам известна . Тогда  = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля  от фиксированной точки, например (0,0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

 =  и далее вычислить.

Итак, алгоритм:

1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе  или  не может быть частью какой-то единой комплексной функции).

2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции  выразить  по формулам: , . При правильном вычислении сократятся все  и останется только .

Пример. Дано . Найти мнимую часть и восстановить вид функции .

Сначала проверяем уравнение Лапласа.

, , сумма 2-й производных равна 0, то есть  является одной из компонент комплексной функции.

 = = , где .

Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля.  =  = .

Далее, в выражение  подставим , .

=  =

 =  =  = . Итак, .