Ассоциированные элементы

Определение. Элементы и кольца называются ассоциированными в , если и . (Обозначают ).

Теорема. В области целостности элементы и ассоциированы тогда и только тогда, когда существует такой обратимый в элемент , что .

Примеры.

7.9. В кольце , .

7.10. В кольце

а) , , , .

б) , , , .

7.11. В кольце . Действительно:

, то есть .

, то есть

По определению, .

Вычисления показывают, что , причем элемент обратим в данном кольце.

В самом деле: .

7.12. В кольце многочлен , , и т.п., вообще , где - любое действительное число, отличное от .

Любой, отличный от нулевого, многочлен ассоциирован с многочленом , где .

7.13. В кольце многочлен ассоциирован с многочленами .

Любой, отличный от нулевого, многочлен ассоциирован с многочленом .

Простые и составные элементы области целостности

Пусть - область целостности с единицей. Всякий элемент кольца делится на любой обратимый элемент кольца и на каждый ассоциированный с элемент кольца. Такие делители называются тривиальными делителями элемента .

Определение. Элемент области целостности называется простым или неприводимым в , если он отличен от нуля, необратим и имеет только тривиальные делители.

Определение. Элемент области целостности называется составным или приводимым в кольце , если он отличен от нуля и его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов кольца.

Множество всех элементов области целостности распадается на четыре класса: 1) множество, содержащее один элемент - нуль; 2) множество всех обратимых элементов; 3) множество всех простых элементов; 4) множество всех составных элементов. Отметим, что в любом поле нет ни простых, ни составных элементов, т.е. последние два класса пустые.

Примеры

8.1. В кольце указанные классы состоят из чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8.2. В кольце многочленов с комплексными коэффициентами классы состоят из многочленов: 1) , 2) , 3) множество многочленов 1 степени, неприводимых над полем С, 4) множество многочленов степени , приводимых над полем С.

Определение. Говорят, что элемент области целостности обладает однозначным разложением на простые множители, если для любых двух разложений элемента на простые множители , имеем и при соответствующей нумерации .

Определение. Кольцо называется факториальным, если оно есть область целостности и всякий отличительный от нуля необратимый элемент кольца обладает однозначным разложением на простые множители.

Отметим, что любое поле есть факториальное кольцо, так как не имеет отличных от нуля необратимых элементов. Из теории чисел и теории многочленов известно, что кольцо целых чисел, кольцо многочленов над числовым полем Р есть факториальные кольца.

8.3. Какие из чисел , , , , , , , приводимы в кольце целых гауссовых чисел?

Решение:

В кольце обратимы только числа , .

а) Допустим, что число является составным в данном кольце, значит представляется в виде произведения двух необратимых элементов данного кольца.

, , , иначе , - обратимые элементы, кроме того , , поэтому , значит , . Отсюда , или . Тогда легко найти, что

полученные разложения числа отличаются порядком следования сомножителей и обратимыми множителями.

Число составное в кольце , так как его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов.

б) Аналогично для числа .

, , причем , . Поэтому равенство возможно лишь в случае , . Таких целых нет. Следовательно, число - простое в кольце .

в) Для числа имеем , тогда аналогично пункту а) , , причем , . Таких целых нет. Следовательно, число простое в кольце . То же легко получить для числа , оно также простое.

г) отметим, что числа и ; и ассоциированы.

, .

Для числа аналогично пункту а) имеем , , , причем , .

Поэтому: 1) или 2) .

Отсюда 1) , , тогда , или .

2) , или , , тогда или

Отсюда для числа получаем . В остальных случаях разложения числа простые множители будут отличаться порядком следования сомножителей и обратимыми множителями. Итак, доказали: число составное в кольце . Для числа ассоциированного с числом получаем .