Обратимые и ассоциированные элементы

Пусть - коммутативное кольцо с единицей.

Определение. Элемент называется делителем элемента , а элемент - кратным , если в существует такой элемент , что .

Запись означает, что есть делитель , запись означает, что делится на , или кратно .

Примеры.

7.1. В кольце многочленов с действительными коэффициентами многочлен делится на многочлен , так как

, где . В кольце многочлен не делится на , так как .

7.2. В кольце целых гауссовых чисел . В самом деле:

, .

7.3. В кольце число делится на число , так как

7.4. В поле любой элемент делится на любой отличный от нуля элемент .

Действительно, если , то существует элемент , такой, что . Тогда имеем , причем . Это означает, что .

Обратимые элементы

Определение. Элемент кольца называется обратимым или делителем единицы, если в существует такой элемент , что .

В этом случае пишут .

Теорема. Пусть - множество всех обратимых элементов коммутативного кольца . Тогда умножение - алгебраическая операция в , алгебра является абелевой группой.

Примеры.

7.5. В кольце целых чисел обратимыми являются числа и . Других обратимых элементов нет.

7.6. В кольце целых гауссовых чисел обратимыми являются числа , , , . Других обратимых элементов в этом кольце нет. Действительно, если элемент обратим, то найдется число , такое, что . Но тогда и , т.е.

(1).

Так как - целые числа и , то равенство (1) возможно лишь в случае , т.е. в одном из четырех случаев: ; ; ; .

Это означает, что может иметь лишь четыре значения: , , , .

7.7. В кольце многочленов с действительными коэффициентами обратимыми являются многочлены нулевой степени, т.е. отличные от нуля действительные числа.