Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений

Рис. 11.

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела S известна как непрерывная функция S = S(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [ a, b ] (см. рис. 11). Так как на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [ x_i_-1, x_i ] функция S(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i, при этом Dx_i = x_i - x_i_-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию S(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример. Найти объем шара радиуса R.

Рис. 12.

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса . В зависимости от текущей координаты этот радиус выражается по формуле (см. рис.12).

Тогда функция площадей сечений имеет вид: S(x) = .

Получаем объем шара:

Объем тел вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением . Предположим, что функция непрерывна на отрезке . Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основанием вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.