Показательная форма комплексного числа

Действие возведения числа  в комплексную степень  определяется равенством .

– показательная форма комплексного числа.

 - формула Эйлера.

________________________________________________________________

а) Выполним деление. При делении на комплексное число вида  нужно числитель и знаменатель дроби умножить на комплексно сопряженное число ; при этом  (т. к. ). Итак,

Получили алгебраическую форму:

Определим модуль и аргумент комплексного числа а для получения двух оставшихся форм записи.

Модуль аргумент

Тогда, тригонометрическая форма записи;

показательная форма.

Ответ. Алгебраическая форма:

тригонометрическая форма:

показательная форма:

б) Выразим из уравнения неизвестную Упрощаем подкоренное выражение Тогда

Корень -ой степени из комплексного числа имеет  различных значений, которые можно найти по формуле:

, где .

Сначала находим тригонометрическую форму числа, стоящего под корнем:

Извлекаем корень: ,где  Получаем три значения:

Полученные комплексные числа расположены на окружности радиуса  и делят ее на 3 равные части (эти точки образуют правильный треугольник). Отмечаем их на комплексной плоскости:

Рис. 1

Ответ.

Задание 2.1.