2020-04-07
107
Дано комплексное число 
Требуется:
Задание 1.1. Записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
Задание 1.2. Найти все корни уравнения 
и изобразить их на комплексной плоскости.
Решение:
Теоретический минимум
Назовем комплексным числом упорядоченную пару действительных чисел, т.е. если 
то 
– комплексное число.
Действительная часть комплексного числа z обозначается 
, мнимая часть числа z и обозначается 
.
Существует три формы записи комплексных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа
– алгебраическая форма комплексного числа.
Операции над комплексными числами в алгебраической форме:
1) 
.
2) 
3) 
Тригонометрическая форма комплексного числа
, где 
– модуль числа 
, 
– аргумент числа 
, т.е. любое решение системы уравнений
и обозначается символом 
. Модуль комплексного числа есть число неотрицательное и определяется однозначно.
Аргумент комплексного числа 
, определяемый только в радианах, имеет бесконечное множество своих значений.
Они отличаются друг от друга на 
.Значение 
, удовлетворяющее условию: 
называют главным значением аргумента числа 
.
Множество всех значений аргумента 
можно записать так: 
.Если 
0, то
Операции над комплексными числами в тригонометрической форме
1. Умножение комплексных чисел
2.Деление комплексных чисел
3. Возведение комплексного числа в целую положительную степень
Если 
, то
При 
равенство примет вид: 
.
Эта формула носит название формулы Муавра.
4. Извлечение корня
.
Формула определяет бесконечное множество значений корня 
ой степени из 
. И только 
из них различные.
Полагая 
, получаем 
различных значений корня 
.Геометрическая интерпретация: 
– различные значения корня 
– вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 
.
