Волновая функция должна быть антисимметричной

 по отношению к перестановке любой пары

Координат частиц.

Все, что говорилось выше о волновой функции системы невзаимодействующих электронов – это частный случай сформулированного выше требования.
В заключение отметим, что ничего похожего нет для системы невзаимодействующих бозонов, т.е. для бозе-систем. В них принцип Паули не действует, так как у симметричной волновой функции бозе-системы нет чередования знаков (+) и (-) при перестановках координат частиц. Поэтому такую волновую функцию нельзя представить в виде определителя с соответствующими следствиями.

Так как в бозе-системах принцип Паули не действует, ничто не запрещает частицам накапливаться в одном и том же квантовом состоянии и иметь одинаковые энергии. В итоге могут в квантовой системе бозонов возникать макроскопические эффекты. Например, спрашивается, как возможна, скажем, радиосвязь (или радиотрансляция) на радиоволнах среднего диапазона 300 м? Радиоволна – это электромагнитная волна, состоящая из фотонов. В данном случае энергия фотона исключительно мала –

всего 4·10^-9 эВ. Никакой радиоприемник такую энергию не зафиксирует. Но фотоны – это бозоны, на них не распространяется действие принципа Паули. Поэтому они могут накапливаться в состоянии с одинаковыми энергиями, складывая их. В результате этой энергии у радиоволны окажется достаточно для передачи физической информации. А вот передать информацию такого рода на электронном пучке будет затруднительно. В системах электронов, как мы видели, действует принцип Паули, из-за которого электроны становятся «индивидуалистами». Это будет им мешать создавать суммарный эффект, как у бозонов. В то же время, скажем в атомах, электроны из-за действия принципа Паули,

не «сваливаются» в самое нижнее по энергии состояние, а распределяются по оболочкам с различными энергиями. Примерно тоже имеет место и с нуклонами в атомных ядрах. Из-за всего этого мы знаем атомы и атомные ядра такими, какие они есть, и окружающий нас мир, состоящий атомов, тоже такой, каким он и должен быть. И все это

из-за действия принципа Паули в системах

 ферми-частиц.

 

Лекция 23

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

 

До настоящего момента рассматривалось нерелятивистское движение микрочастицы, и оно описывалось временным уравнением Шрёдингера. Для свободной частицы оно имело вид:

,  

или

                      .             (23.1)

Видно, что уравнение (23.1) действительно не может быть релятивистским: в него время t и координата  входят не одинаково - производные по времени и по координате имеют различный порядок. Как известно, преобразование Лоренца для релятивистских уравнений требует равноправности координаты и времени.

Покажем, как уравнение (23.1) может быть получено полуклассическим способом. Запишем для свободной частицы соотношение между ее энергией и импульсом:

.

Подставим сюда вместо энергии E оператор энергии в виде  (см. разд. 1 в лекции 14) и вместо импульса  оператор импульса . После этого получившимся оператором подействуем на волновую функцию  и результат приравняем нулю (в соответствии с постулатом 3 (см. лекцию 7)):

.

В итоге действительно получилось уравнение (23.1).
Теперь становится понятным путь получения релятивистского уравнения Шрёдингера. Берем за основу релятивистское соотношение между энергией частицы и ее импульсом:

        .     (23.2)

Как и выше, производим в последнем соотношении замены  и , получившимся оператором действуем на волновую функцию  и результат приравниваем нулю:

 

          . (23.3)

Здесь была произведена замена . Уравнение (23.3) и есть релятивистское уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Как и должно быть, в него время t и координата входят равноправно в виде вторых производных.

Решение уравнения можно искать в виде волны де Бройля, которая постулировалась как волновая функция свободно движущейся частицы, а нерелятивистская частица или она релятивистская определялось формой зависимости энергии частицы от ее импульса. Итак, ищем волновую функцию  в виде:

                .         (23.4)

Подставив (23.4) в (23.3), получим:

     . (23.5)

Здесь  и . В итоге

                .        (23.6)

Из (23.6) следует, что у свободно движущейся релятивистской частицы есть два состояния: одно с волновой функцией  и с энергией , а другое - с волновой функцией  и с энергией . Последнее обстоятельство не было понятно: как у свободной частицы, обладающей только кинетической энергией, эта энергия может быть отрицательной? Для разрешения этого противоречия было сделано предположение, что релятивистское уравнение Шрёдингера одновременно описывает состояния двух частиц – частицы и античастицы, например, электрона и позитрона, и их разорвать невозможно. Отрицательный знак у энергии  соответствует античастице. Но можно сказать и иначе: не энергия отрицательна у античастицы, а время для нее течет в противоположном, чем у частицы, направлении. Действительно, из (23.6) видно, что в показателе экспоненты фазовый множитель

можно отнести не к энергии , а к времени t, считая при этом энергию античастицы положительной. Впрочем, независимо от данной интерпретации, существенно одно: релятивистское уравнение Шрёдингера описывает одновременно и частицу, и античастицу. Как выяснилось в дальнейшем, это особенность всех квантовых релятивистских уравнений.

Взяв релятивистское уравнение Шрёдингера за основу, найдем состояния электрона в атоме водорода. Для этого необходимо ввести потенциальную энергию электрона в атоме водорода в уравнение (23.3). Запишем его в исходном виде:

                  .         (23.7)

Если на частицу с электрическим зарядом q действует электрическое поле со скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом , то в уравнении (23.7) следует сделать замены:  и  (см. лекцию 19). В нашем случае q=-e,  - кулоновское поле точечного заряда ядра, т.е. протона, и . В результате релятивистское уравнение Шрёдингера (23.7) принимает вид:

             .      (23.8) 

Как известно, в стационарных состояниях волновая функция ищется в виде:

                                                         .                       (23.9)
Подстановка (23.9) в (23.8) дает:

.

Это уравнение можно решить точно и получить энергетический спектр и соответствующие волновые функции. Однако, как выяснилось, энергии уровней не соответствуют наблюдаемым. Из этого был сделан вывод, что на основе релятивистского уравнения Шрёдингера нельзя описывать состояния частиц с полуцелым спином, в частности, электрон. Для этого требуется другое уравнение. А с помощью релятивистского уравнения Шрёдингера можно исследовать движение частиц с целочисленным спином. Это уравнение также является основой квантовой теории поля и используется в ней для нахождения полевых характеристик, только в этой теории его называют уравнением Клейна-Гордона.

          

 

 

Лекция 24

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

 

В 1928 г. П. Дирак получил релятивистское уравнение – уравнение Дирака, пригодное для частиц с полуцелым спином, в частности, для электронов. На его основе он предсказал существование античастиц. Для электрона античастица – это позитрон, его открыл в 1932 г. американский физик-экспериментатор К. Андерсен, подтвердив предсказание П.Дирака.

Две идеи были основой вывода уравнения Дирака.

1. Уравнение должно иметь

 Поль Дирак (1902-1984) гамильтонову форму.

2. Его решение   должно удовлетворять релятивистскому уравнению Шрёдингера

                  ,        (24.1)

но обратное не обязательно.

Обсудим эти идеи.

1. Гамильтонова форма уравнения предполагает, что в нем должна быть только первая производная по времени, т.е. уравнение должно иметь вид:

             ,              (24.2)

где  - это пока неизвестный оператор с размерностью энергии. Будем рассматривать свободное движение частицы. Можно из общих соображений предположить, каким должен быть оператор . Поскольку в (24.2) входит первая производная по времени, то релятивизм уравнения требует, чтобы была и первая производная по координате . Такой физический оператор в квантовой механике есть – это оператор импульса . Следовательно, в операторе  должен быть оператор , причем в первой степени, а не в квадрате, как в уравнении Шрёдингера. Оператор   скалярный (у него размерность – энергия), а  - это вектор, и эту векторность надо нейтрализовать скалярным умножением на некоторый вектор . Иными словами, в операторе  должно быть слагаемое . Но это слагаемое имеет размерность импульса, а не энергии, поэтому следует его умножить на скорость света c (см., например, (23.2)). В итоге будет оператор . К нему можно с безразмерным коэффициентом β добавить еще один скаляр с размерностью энергии – это , где m – масса электрона. Таким образом, получается:

                      .                 (24.3)

В оператор  входят 4 параметра:  и β. Они должны быть константами, т.е. не зависеть ни от t, ни от . Последняя зависимость, по сути, физически означала бы действие каких-то полей на частицу,

а мы предположили, что она свободная. Соответственно, раз нет зависимости от координаты, то из-за релятивистской инвариантности искомого уравнения не должно быть и зависимости от времени. Однако мы про эти константы пока ничего не знаем. Поэтому будем исходить из самого общего предположения – это не числа, а матрицы. Такое предположение важно – в произведении порядок расположения чисел можно менять, например, , а матричная алгебра в общем случае некоммутативная, т.е. . Это означает, что при перемножении матриц надо следить за порядком их расположения в произведении.

2. Рассмотрим теперь вторую исходную идею. Ищется уравнение для релятивистской частицы, но в уравнение (24.2) с оператором  в виде (24.3) этот релятивизм никак не заложен. В то же время релятивистское уравнение Шрёдингера (24.1) было получено на основе релятивистского соотношения для энергии и импульса частицы: . Поэтому исходное требование 2, по сути, означает, что и в решение уравнения (24.2) будет также заложен релятивизм. Кроме того, это требование предлагает и путь, на котором можно выяснить, какими должны быть матрицы  и β. Для этого уравнение (24.2) с оператором (24.3) надо сквадрировать. Это означает приведение его к виду, аналогичному уравнению (24.1), в которое входят производными второго порядка по времени и координате. Тогда из сравнения квадрированного уравнения с уравнением (24.1) можно будет получить определенные условия на параметры  и β.

Выполним эту программу. Запишем уравнение (24.2) в явном виде:

Здесь использовано определение оператора энергии в виде . Умножим последнее уравнение на оператор (равенство нулю, конечно, останется):

. (24.4)

Использовано алгебраическое соотношение

(a+b)(a-b)=a²-b², где a= и b= . Это возможно, так как операторы и действуют на разные переменные, а потому коммутируют. Теперь необходимо раскрыть в явном виде уравнение (24.4).

     (24.5)

При выводе (24.5) учтено, что компоненты оператора импульса коммутируют друг с другом. Для того чтобы (24.5) переходило в уравнение (24.1) и удовлетворяло тем самым требованию 2, от параметров  и β надо потребовать:

               (24.6)

Необходимо также добавить условия эрмитовости:

                       .               (24.7)

Из соотношений (24.6) видно, что параметры  и β не могут быть числами. Если их представить в виде матриц, а соотношения (24.6) и (24.7) рассматривать как уравнения для нахождения матричных элементов, то оказывается, что это могут быть матрицы только вида 4×4. Напомним, что похожая задача решалась в теории спина, но там было достаточно матриц 2×2. Теперь в результате получаются матрицы 4×4, которые называются матрицами Дирака. В свернутом виде, который часто используется в формулах, они следующие:

                      .                 (24.8)

Здесь - матрицы Паули

 ;

 .

В развернутом виде:

            .     (24.9)  

Если эти матрицы подставить в уравнение Дирака

 ,

представить волновую функцию тоже в виде матрицы

                                                     (24.10)

(функция такого вида называется биспинором) матрицы перемножить, то получится не одно, а 4 связанных дифференциальных уравнения. Их совместное решение даст 4 компоненты волновой функции  и энергетический спектр, если рассматриваются стационарные состояния. Итак, формально уравнение Дирака можно представить в виде:

                   .           (24.11)

Но на самом деле, это система 4-х связанных уравнений и волновая функция имеет вид (24.10). Исследование уравнения Дирака в виде (24.11) показывает, что оно, как и релятивистское уравнение Шрёдингера, описывает одновременно и электрон, и его античастицу – позитрон. Но в данном случае в уравнении учтено наличие спинов у электрона и позитрона. Поэтому две компоненты волновой функции (24.10) относятся к электрону (напомним, что спиновые функции двухкомпонентные - спиноры), и две – к позитрону, в итоге получается биспинор. Если уравнение Дирака решается в свернутом виде (24.11), то часто волновую функцию  формально представляют

 в виде спинора:

                             .                 (24.12)

Одна из этих функций относится к электрону, а другая – к позитрону.

Уравнение Дирака легко обобщается на случай, когда на частицу действует поле и она имеет потенциальную энергию . В этом случае

                   .          (24.13)

Положив здесь , можно получить энергетический спектр и соответствующие волновые функции для водородоподобного атома. Задача решается точно, как и в нерелятивистском случае, но спектр энергий лучше согласуется с экспериментальным. В частности, воспроизводится и дублетная структура уровней у водородоподобного атома, обусловленная наличием спина у электрона и спин-орбитальным взаимодействием. Точный вид последнего можно получить, выполнив в уравнении Дирака в виде (24.13) предельный переход к нерелятивистскому случаю, когда скорость электрона .

Как и следовало ожидать, получается нерелятивистское уравнение Шрёдингера с поправками порядка  к оператору кинетической энергии и с добавкой к потенциальной энергии электрона  спин-орбитального члена . Наличие в нем оператора спина  непосредственно свидетельствует, что, как уже говорилось выше, в самой структуре уравнения Дирака спин у электрона учитывается. В это уравнение его не надо вводить искусственно, как это делается в уравнении Шрёдингера.