Преобразователь деформации l в постоянное напряжение U построен на основе тензорезистора, включенного в четырехплечий мост. Питание осуществляется от источника напряжения E. Считаем, что уравнение тензорезистора линейное:
R 1 (l) = R 1 (l = 0) + lS,
где S – чувствительность тензорезистора, Ом/мм.
Номинальные сопротивления плеч моста принимаем одинаковыми: R 1(0) = R 2 = R 3 = R 4 = R.
Изобразить электрическую схему моста. Вывести функцию преобразования U (l), упростить ее и записать в виде линейного уравнения. Получить выражение для методической погрешности от замены функции преобразования линейной зависимостью.
Решение
Схема неуравновешенного моста приведена на рисунке 2.1.
Напряжение на выходе моста в зависимости от деформации (функция преобразования) имеет вид
Рисунок 2.1 – Схема моста с тензорезистором
Приведем к общему знаменателю и сгруппируем
.
Полагая lS <<R и принимая R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R, получим:
и .
Последнее выражение есть математическая функциональная модель, принимаем ее за номинальную функцию преобразования.
|
|
Методическая погрешность в абсолютных значениях от наложенного ограничения (lS << R) равна
.
Преобразуем это выражение:
Проанализируем полученное выражение, для чего обозначим . Тогда где x имеет смысл относительного изменения сопротивления тензорезистора.
Разложим в ряд Тейлора полученное выражение в окрестности точки х = 0для x << 1
Вычислим производные
Следовательно, методическая погрешность примет вид нелинейной зависисмости от измеряемой деформации l
При числовом оценивании этой погрешности она может оказаться пренебрежимо малой.
Задача 2.2
Построение структурной функциональной модели измерительной установки с ручным дискретным уравновешиванием
Разработать структурную и математическую функциональные модели установки с ручным уравновешиванием для измерения напряжения Uх компенсационным методом. Установка содержит высокочувствительное устройство типа гальванометра Г и потенциометр (дискретный декадный делитель), питающийся от источника опорного напряжения Е (рисунок 2.2).
На рисунке: N – число, результат измерения; α – показание гальванометра; U к– компенсирующее напряжение; ОП – оператор.
Оператор, судя по показаниям гальванометра, вручную осуществляет уравновешивание, изменяя положение ручек потенциометра.
Рисунок 2.2 – Структурная схема установки
Решение
Решение осуществим в три этапа.
1-й этап. Разложение на функциональные звенья, функции которых представим математическими выражениями.
Электрическая цепь сравнения измеряемого Uх и компенсирующего U кнапряжений позволяет получить на клеммах гальванометра разность Uх – U к.
|
|
Гальванометр рассматривается как линейное звено, функция которого:
α = S г(Uх – U к),
где α – показания гальванометра; S г– чувствительность.
Оператор, следящий за показаниями гальванометра и управляющий ручками декадных переключателей потенциометра, выполняет действия, которые могут быть описаны знаковой функцией. Он принимает решение аналогично тому, как это делает релейный элемент (цифровой компаратор)
1, если α > α 0;
sign (α – α 0) = 0, если α = α 0;
–1, если α < α 0,
где α0 – показание гальванометра, номинально равное нулю; "1"– решение оператора изменять положение ручек потенциометра в одну сторону; "–1" – в другую сторону; "0"– не изменять положения переключателей.
Потенциометр выполняет две функции.
Первая – суммирование предыдущего значения, установленного на переключателях, с добавляемыми оператором приращениями и запоминание результата. Эта функция может быть представлена в виде:
N = sign (α – α 0),
где N – десятичное число, устанавливаемое на декадном переключателе после всех манипуляций оператором, i – шаг переключения.
Вторая функция – преобразование десятичного числа N в компенсирующее напряжение.
Положение переключателя определяет коэффициент деления К д делителя, который пропорционален числу N. Этот коэффициент есть отношение набранного числа N к максимально возможному
N max = 10 n,
где n – число десятичных разрядов (декад).
Тогда
К д = = S д N,
где S д = 1/10 n имеет смысл чувствительности.
Выходное напряжение потенциометра образуется путем деления опорного напряжения, т. е.
U к = К д Е = S д Е N.
Произведение S д Е есть реальная ступень квантования, определяемая параметрами потенциометра.
Оператор, считывающий показания с переключателей и формирующий результат измерения, выполняет следующую линейную функцию:
Ũх = q н N,
где q н – номинальная ступень квантования, определяемая оцифрованными значениями переключателей.
2-й этап. Составление структурной функциональной модели.
Соединив соответствующим образом между собой выделенные на первом этапе функциональные звенья, преобразуем структурную схему установки в структурную функциональную модель, которая примет вид, показанный на рисунке 2.3.
3-й этап. Составление математической функциональной модели.
Уравновешивание заканчивается, когда α = α0 , где α0 – минимальное отклонение от нуля показания гальванометра, которое уверенно различает оператор.
Тогда
α = α 0 = S г(Uх – U к) = S г(Uх – S д Е N).
Откуда
N = .
Результат измерения Ũх оператор получает, умножая цифру N на переключателе на номинальную ступень квантования. При этом, как при любом цифровом измерении, возникает погрешность квантования.
|
|
Рисунок 2.3 – Структурная фукциональная модель установки
Следовательно, функция преобразования (математическая функциональная модель) установки примет вид
Ũх = ,
где Δкв [ –0,5 q н; 0,5 q н] – погрешность квантования в единицах измеряемой величины.
Коэффициент перед Uх есть реальная чувствительность, которая практически может отличаться от единицы за счет погрешностей звеньев цепи обратной связи. Параметры звеньев в прямой ветви замкнутого контура не влияют на общую чувствительность.
Второе слагаемое, содержащее α 0, близкое к нулю, в окончательной форме имеет знак "плюс". Так как предполагается, что α 0 известно в виде некоторого симметричного предела.
Слагаемые, не зависящие от измеряемой величины, составляют аддитивную погрешность измерения.
|
|
Функциональная модель является основой для построения метрологической модели.
Задача 2.3
Построение метрологической модели и расчет требований
к точности звеньев канала измерения температуры
Провести функциональный и метрологический анализ канала измерения температуры Θ х, который состоит из термопары, термостата для "холодных" концов термопары, источника Е к компенсации ЭДС холодных концов, усилителя постоянного напряжения У и магнитоэлектрического микроамперметра МЭ с добавочным резистором R (рисунок 2.4).
Чувствительность прибора S п= 1 дел/мкА; сопротивление рамки прибора r =100 Ом.
Номинальная функция преобразования термопары
Е т = S т(Θ х – Θ0),
где S т – чувствительность (0,1 мВ/ 0С); Θ х – измеряемая температура, Θ х [250; 1000] ºС; Θ0 – температура холодных концов термопары, Θ0 = + 100 ºС.
Рисунок 2.4 – Структурная схема канала измерения температуры
Вывести функцию преобразования канала и определить номинальные характеристики звеньев: термостата, источника напряжения компенсации, усилителя, добавочного сопротивления, если 100 делениям шкалы прибора соответствует 1000 ºС. Определить требования к погрешностям всех звеньев, если задана общая погрешность измерительного канала: аддитивная Δ ≤ 20 ºС и мультипликативная δ ≤ 2 %.
Решение
1 Вывод функции преобразования.
Функцию преобразования строим последовательно, начиная с конца цепи преобразования:
α = S п I = S п = S п ку U вх = S п ку[ S т(Θ х – Θ0)+ Е к] =
= S п SR ку[ S тΘ х +(Е к – S т Θ0)],
где S п – чувствительность прибора; I – ток в цепи микроамперметра; U выхи U вх– соответственно выходное и входное напряжения усилителя; кy – коэффициент усиления; SR = 1/ (R + r) – чувствительность цепи преобразования напряжения в ток; S т – чувствительность термопары.
2 Определение номинальной чувствительности измерительного канала.
Полагаем, что выполняется равенство Е к = S тΘ0.
Тогда номинальная функция преобразования
α = S п SR ку S дΘ х = S Θ х,
|
|
где S – общая чувствительность измерительного канала.
Отсюда следует, что
S = α max / Θ x max = 100 дел / 1000 ºС = 0,1 дел / ºС.
3 Составление функциональной структурной модели.
Структурная модель (рисунок 2.5) строится соединением звеньев, функции которых определены, исходя из полученной ранее функции преобразования измерительного канала.
Рисунок 2.5 – Функциональная структурная модель измерительного канала
4 Расчет характеристик звеньев.
Напряжение источника компенсации определяется следующим образом:
Е к= S тΘ0 = 0,1 мВ/ ºС ·100 ºС = 10 мВ.
Максимальное входное напряжение усилителя:
U вх max = S тΘmax = 100 мВ = 0,1 В.
Если максимальное выходное напряжение усилителя принять равным 10 В, то его коэффициент усиления ку = 100.
Учитывая, что чувствительность микроамперметра S п=1 дел/мк А = = 106 дел/А, максимальное число делений αmax = 100 и максимальное выходное напряжение усилителя U вых max =10 В, чувствительность цепи преобразования напряжения в ток:
SR = ,
откуда R + r = 105 Ом = 100 кОм.
Следовательно, R = 99,9 кОм, так как r = 100 Ом.
5 Составление структурной метрологической модели.
Метрологическая структурная модель строится путем добавления в функциональную структурную модель элементов, отражающих аддитивные и мультипликативные погрешности основных звеньев (рисунок 2.6).
Рисунок 2.6 – Структурная метрологическая модель
Мультипликативная погрешность звена отражается на модели умножением чувствительности звена на (1+d), где d – предельная относительная погрешность чувствительности. В нашем случае это dт, dу, δ R и dп, где индексы соответствуют индексам чувствительностей основных звеньев.
Аддитивные погрешности звеньев отражаются путем добавления через суммирование смещений нуля усилителя Δу и прибора Δп , и также некоторым отклонением от равенства S тΘ0 = E к, что можно выразить абсолютными погрешностями ΔΘ0 и Δ E к
6 Составление математической метрологической модели и расчет погрешностей.
Мультипликативная погрешность измерительного канала определяется погрешностями последовательно включенных четырех звеньев и вычисляется по формуле:
.
Аддитивная погрешность, приведенная ко входу измерительного канала определяется аддитивными погрешностями звеньев, деленными на чувствительности всех предыдущих звеньев
В совокупности эти две формулы представляют собой математическую метрологическую модель (нелинейную составляющую погрешности не расматриваем).
По условию задачи d £ 0,02 и Δ £ 20 ºС.
По методу равных влияний принимаем мультипликативные погрешности звеньев равными, тогда
(1%).
Погрешность d R есть погрешность суммы d(R + r). Следовательно, должны быть определены требования по точности отдельно к R и r. Однако R >> r, так как R»1000 r, ипогрешностью сопротивления рамки прибора можно пренебречь.
Рассматривая аддитивные погрешности, приравняем все четыре слагаемых под квадратным корнем. Тогда получим для каждой составляющей значение 20 ºС / =10 ºС.
Следовательно,
ΔΘ0 ≤ 10 ºС;
10 ºС, откуда Δ Eх ≤ 1 мВ;
10 ºС, откуда Δу ≤ 1 мВ;
10 ºС, откуда Δп ≤ 10 –5 ·100 ·10 –3 ·1 = 10 –6 А = 1 мкА.
Задача 2.4