Операции над нечеткими числами

 

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

 

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

 

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам  и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

 

операция "сложения":

 

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂],                                             (2.6)

 

операция "вычитания":

 

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁],                                                (2.7)

 

операция "умножения":

 

[a₁, a₂] (´) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂],                                             (2.8)

 

операция "деления":

 

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁],                                       (2.9)

 

операция "возведения в степень":

 

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ, a₂ⁱ].                                                          (2.10)

 

 

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

сумма треугольных чисел есть треугольное число;

треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

 

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

 

(a₁, b₁, c₁) + (a₂, b₂, c₂) º (a₁ + a₂, b₁ + b₂, c₁ + c₂)                         (2.11)

 

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.