Вероятностное распределение с нечеткими параметрами

 

     Пусть имеется квазистатистика и ее гистограмма и пусть одна из возможных плотностей вероятностной функции распределения, приближающая квазистатистику, обозначается нами как p(u, À), где u – значение носителя, u Î U, À = (x₁,…, x_N) - вектор параметров распределения размерностью N.

 

     Произведем гипотетический эксперимент. Оценим вид функции распределения p(·), производя вариацию всех параметров вектора À. При этом зададимся критерием правдоподобия нашего распределения – унимодальной гладкой функцией без изломов и разрывов (например, квадратичной многомерной параболой) - и пронормируем значение критерия. Например, если максимум правдоподобия имеет значение L, то вектор параметров À приобретает значение, которое мы будем называть контрольной точкой или точкой ожидания с координатами (x_1L,…, x_NL). Мы можем производить нормирование правдоподобия, задавшись некоторым процентом максимума правдоподобия, ниже которого наши вероятностные гипотезы бракуются. Тогда всем правдоподобным вероятностным гипотезам отвечает множество векторов À^’, которое в N-мерном фазовом пространстве представляет собой выпуклую область с нелинейными границами.

 

     Впишем в эту область N-мерный параллелепипед максимального объема, грани которого сориентированы параллельно фазовым осям. Тогда этот параллелепипед представляет собой усечение À^’ и может быть описан набором интервальных диапазонов по каждой компоненте

 

À^’’ = (x₁₁, x₁₂; x₂₁, x₂₂;…x_N1, x_N2) Î À^’.                             (2.15)

 

Назовем À^’’ зоной предельного правдоподобия. Разумеется, контрольная точка попадает в эту зону, то есть выполняется

 

 x₁₁ £ x_1L £ x₁₂,…, x_N1 £ x_NL £ x_N2,                                    (2.16)

 

что вытекает из унимодальности и гладкости критерия правдоподобия.

 

     Тогда мы можем рассматривать числа (x_i1, x_iL, x_i2) как треугольные нечеткие параметры плотности распределения, которая и сама в этом случае имеет вид нечеткой функции. А зона предельного правдоподобия тогда есть не что иное, как нечеткий вектор.

 

     Мы видим, что полученное вероятностное распределение имеет не только частотный, но и субъективный смысл, так как зона предельного правдоподобия зависит от того, как мы бракуем вероятностные гипотезы. Представляется, что такое описание всецело отвечает природе квазистатистики, как мы ее здесь вводим. Чем хуже условия для выдвижения правдоподобных вероятностных гипотез, чем тяжелее обосновывать такое правдоподобие, - тем большее значение занимает фактор экспертной оценки. То вероятностное описание, что мы имеем в итоге, - это гибрид, который обещает быть плодотворным.

 

     В качестве примера можно рассмотреть нормальный закон распределения с нечетким среднеквадратическим отклонением (рис. 2.6). Эта нечеткая функция не имеет полосового вида. И тут замое время заметить, что функция с треугольными нечеткими параметрами в общем случае сама не является треугольной и к треугольному виду не приводится.

Рис. 2.6. Нечеткая функция вероятностного распределения

     Зато выполняется нормировочное условие:

 

,                                                                  (2.17)

 

где правая часть представляет собой нечеткое число с вырожденной в точку функцией принадлежности. Интеграл же, не определенный для не четких функций общего вида, представляет здесь предел сумм

 

                 (2.18)

 

Нечеткие знания

 

Назовем формальным знанием высказывание естественного языка, обладающее следующей структурой:

 

ЕСЛИ (A₁Y₁ A ₂Y₂... A_N-1Y_N-1A _N), ТО В,                         (2.19)

 

где {A_i}, В – атомарные высказывания (предикаты), Y_i – логические связки вида И/ИЛИ, N – размерность условия, причем атомарные высказывания – это

 

     aQX,                                                                                   (2.20)

 

где a – определяемый объект (аргумент), Q - логическая связка принадлежности вида ЕСТЬ/НЕ ЕСТЬ, X – обобщение (класс объектов). Также соблюдается правило очередности в рассмотрении фразы для понимания: сначала все связки И применяются к двум смежным предикатам, а затем все связки ИЛИ применяются к результатам предшествующих операций.

 

     Например, классический вывод «Если Сократ человек, а человек смертен, то и Сократ смертен» можно преобразовать к структуре формального знания по следующим правилам:

 

вводится два класса объектов X₁ = «Человек (Люди)» и X₂ = «Смертный (-ая, -ое)»;

рассматриваются два аргумента: a₁ = «Сократ», a₂ = «Человек» = X₁.

 

Тогда наше знание имеет формулу

 

ЕСЛИ a₁ ЕСТЬ X₁ И (a₂ = X₁) ЕСТЬ X₂

ТО a₁ ЕСТЬ X₂                                                                  (2.21)

 

     Очень часто в структуре знаний классы объектов являются нечеткими понятиями. Также высказывающиеся лица могут делать выводы, содержащие элементы неуверенности, оценочности. Это заставляет нас переходить от знаний в классическом понимании к знаниям нечетким.

 

     Введем следующий набор лингвистических переменных со своим терм-множеством значений:

 

     Q = Отношение принадлежности = {Принадлежит, Скорее всего принадлежит, Вероятно принадлежит,...., Вероятно не принадлежит, Скорее всего не принадлежит, Не принадлежит}                                                                  

(2.22)

 

     D = Отношение следования = {Следует, Скорее всего следует, Вероятно следует,...., Вероятно не следует, Скорее всего не следует, Не следует }                                                                                                                               (2.23)

 

     AND/OR = Отношение связи = {И/ИЛИ, Скорее всего И/ИЛИ, Вероятно И/ИЛИ,....}                                                                                                                                                                                                                             (2.24)

 

Вводя эти переменные, мы предполагаем, что они содержат произвольное число оттеночных значений, ранжированных по силе (слабости) в определенном порядке. Носителем этих переменных может выступать единичный интервал.

 

     Тогда под нечетким знанием можно понимать следующий формализм:

 

     ЕСЛИ (a₁Q₁X₁ Y₁ a₂Q₂X₂ Y₂... a_NQ_NX_N) D a_N+1Q_N+1X_N+1, (2.25)

 

где a_i, X_i –значения своих лингвистических переменных, Q_i –значение переменной принадлежности из Q, Y₁ –значение переменной связи из AND/OR, D - терм-значение переменной следования из D.

     Характерным примером нечеткого знания является высказывание типа: «Если ожидаемое в ближайшей перспективе отношение цены акции к доходам по ней порядка 10, и (хотя и не обязательно) капитализация этой компании на уровне 10 млрд. долларов, то, скорее всего, эти акции следует покупать». Курсивом обозначены все оценки, которые делают это знание нечетким.

 

     Поскольку нечеткое знание определяется через лингвистические переменные, то и операции нечеткого логического вывода можно количественно определить на базе операций с соответствующими функциями принадлежности. Однако детальное рассмотрение этого вопроса мы опускаем.

 

     С некоторых пор нечеткие знания начали активно применяться для выработки брокерских рекомендаций по приобретению (удержанию, продаже) ценных бумаг. Например, монография [ 2.4 ] рассматривает вопрос о целесообразности инвестирования в фондовые активы в зависимости от характера экономического окружения, причем параметры этого окружения являются нечеткими значениями. На сайте [ 2.5 ] автор вышеупомянутой монографии поддерживает бюллетень макроэкономических индикаторов и соответствующих условий инвестирования на тех или иных рынках.

 

Таким образом, мы завершили рассмотрение базовых формализмов теории нечетких множеств и можем переходить к непосредственному изложению предмета настоящей монографии.

 

 

Выводы

 

     Теория нечетких множеств открывает новые возможности для интерпретации наблюдений, полученных опытным путем, потому что дает исследователю основания для анализа неоднородных и недостаточных выборок, которые классическая теория вероятности законно игнорирует.

 

     Появляется простор для великого компромисса, когда исходная «дурная» неопределенность начинает работать на правах неопределенности канонической, но в модели попадают нечеткости, которые выражают степень субъективной уверенности эксперта в своей правоте. Тем самым неопределенность проходит структуризацию, получая формально описанную границу, отделяющую нашу уверенность от неуверенности, знание от незнания. Законы, выраженные в нечеткой или нечетко-вероятностной форме, являют собой синтез объективных и субъективных моделей. Таким образом, активность эксперта не игнорируется, а приобретает модельные формы. 

 

Также надо отметить, что огромное количество вероятностных приложений в экономике опирается на наивные представления практиков о том, что их вероятностные гипотезы не требуют подтверждения правдоподобия. Если бы вопрос о подтверждении гипотез встал ребром и встал так, как это понимают классики математической статистики, то можно уверенно утверждать, что львиная доля вероятностных гипотез в экономике была бы забракована. Категория квазистатистики позволяет получить оценку правдоподобия в новом качестве, в новом смысле, с оттенком субъективного доверия эксперта к полученным им гипотезам.

 

Нечеткие знания, которые также здесь рассмотрены, являются инструментом для принятия инвестиционных решений. На этих знаниях могут быть организованы специализированные экспертные системы, реализующие механизм нечетко-логического вывода. Простейший пример такого рода системы мы находим на сайте [2.6].