double arrow

Розподіл молекул газів по швидкостях при тепловій рівновазі (розподіл Максвелла)


 

Як же розподіляються молекули газів в залежності від їхніх швидкостей тобто, скільки молекул рухається швидко і скільки повільно? Цю задачу вперше розв’язав Максвелл. Він знайшов рівняння, за допомогою якого можна визначити, скільки молекул має швидкість, близьку до даної швидкості . Іншими словами, рівняння Максвелла дозволяє визначити кількість молекул, що мають швидкість в інтервалі (n,n + Dn).

Визначимо спочатку, від чого повинна залежати кількість частинок Dn, швидкості яких лежать в інтервалі (n,n + Dn). Наприклад в інтервалі 100, 101 м/с або 367, 370 м/с і т.д. Очевидно, найбільша кількість частинок має швидкості, близькі до середньої швидкості, а кількість частинок з дуже малими швидкостями, як і кількість з дуже великими швидкостями, мала. Отже, кількість частинок Dn, що приходиться на однакові інтервали швидкостей Dn залежить від розглядуваної швидкості n. Іншими словами, так звана функція розподілу Максвелла повинна бути функцією швидкостей f(n), тобто:

Фізично також ясно, що число  буде пропорційне ширині інтервала швидкостей Dn і кількості молекул в одиниці об’єму n. Тому можемо записати таке співвідношення:




 

 (28)

 

Або, переходячи до нескінченно малих величин  і , одержуємо:

 

 (29)

 

Звідки знаходимо:

 

 (30)

 

Функцію f(n) називають функцією розподілу. Її фізичний зміст випливає з (30). Дійсно при Dn = 1 м/c маємо: , тобто, f(n) рівна долі частинок, швидкості яких лежать в одиничному інтервалі швидкостей поблизу даної швидкості n.

На основі теорії ймовірностей Максвелл знайшов вигляд цієї функції:

 

.

 

На рис. 2 приведений графік функції f(n). З графіка видно, що f(n) функція має максимум при певному значенні швидкості . Це значить, що найбільшу кількість молекул в газі мають швидкості, близькі до . Тому швидкість  називають найбільш ймовірною.

 

Рис. 2

 

Найбільш ймовірна швидкість рівна:

 

 (31)

 

Враховуючи значення найбільш ймовірної швидкості формулу (31) можна записати в такому вигляді:

 

 (32)


Формула Максвелла дозволяє обчислити і середню арифметичну швидкість. Вона рівна:

 

 або  (33)

 

Тепер можна знайти формули для визначення кількості молекул dn, швидкості яких лежать в інтервалі (n,n + dn). Так, підставивши значення f(n) по формулі (33) в формулу (30) одержимо:

 

 (34)

 

Таким чином, властивості газу визначаються такими швидкостями:

Середня квадратична –

Середня арифметична –

Найбільш ймовірна –

Звідси видно, що  (рис. 3).

 

Рис. 3


Фізичний зміст цих швидкостей полягає в наступному. За допомогою графіку (рис. 3) можна знайти кількість молекул, швидкості яких лежать між  і . Для цього перемножимо середнє значення ординати цього інтервалу на ширину інтервалу. Тоді одержимо:



 

.

 

Ми знайшли відносну кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі ( , ), але цей добуток дорівнює площі фігури, закресленої на рис. 3. Таким чином, маючи графік розподілу Максвелла для якогось газу можна легко визначити відносну кількість молекул, швидкості яких лежать в даному інтервалі.

Функція розподілу Максвелла залежить від температури (рис. 4).

 

Рис. 4

 

Як видно з рис. 4 при  максимум функції обертається в гострий пік.

Отже діапазон швидкостей навколо  при зменшенні температури зменшується. При підвищенні температури все більше зменшується кількість молекул, швидкості яких менше найбільш ймовірної і збільшується частина молекул, швидкості яких перевищують найбільш ймовірну.





Висновки

 

1. Молекулярна фізика розглядає будь-яке тіло як таке, що складається з надзвичайно великої кількості частинок – атомів чи молекул і характеризує таку велику сукупність середніми величинами на основі методів статистичної фізики.

2. Основним рівнянням ідеального газу, яке враховує можливу зміну всіх параметрів газу, є рівняння Менделєєва-Клапейрона, або рівняння стану ідеального газу.

3. Тиск газу пропорційний середній кінетичній енергії молекул одиниці об’єму, або тиск газу пропорційний абсолютній температурі газу, а температура газу є мірою середньої кінетичної енергії поступального руху молекул.



4. Розподіл Максвелла дає змогу визначити частки молекул, швидкості яких розміщені в інтервалі від n до n + dn. Розподіл дає змогу знайти швидкості молекул: середню, середню квадратичну, найбільш ймовірну.







Сейчас читают про: