II. Изучение нового материала. (Краткий конспект)

Дата: 06.04. Тема «Сочетания»

Цели: ввести понятие сочетания из п элементов по k (k ≤ п); вывести формулу нахождения числа сочетаний из п элементов по k; формировать умения решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.

I. Устная работа.

1. З а д а ч а. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовали в турнире?

б) Сколько команд играли в зеленых футболках?

в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

2. Найти значение выражения:

а) Р ₄ + Р ₃;      б) Р ₆ – Р ₅;      в) ;      г) ;

д) ;      е) ;      ж) ;      з) .

II. Изучение нового материала. (Краткий конспект)

1. практическая задача:

«Сколькими способами можно смешать по три краски из имеющихся пяти?».

Р е ш е н и е

Обозначим имеющиеся краски буквами латинского алфавита a, b, c, d, e. Выпишем возможные варианты смешивания красок, учитывая, что от порядка расположения красок результат не зависит:

abc, abd, abe, ace, ade

bcd, bce, bde

cde

Мы указали различные способы смешивания красок, в которых по-разному сочетаются три краски из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3.

2. Определение. Сочетанием из п элементов по k называют любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных п элементов.

П о д ч е р к и в а е м, что, в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из п элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

3. Обозначение.  (читается «С из п по k»).

В рассмотренном примере мы нашли, что  = 10.

4. Вывод формулы числа сочетаний из п по k, где k ≤ п.

В отличие от предыдущих тем, при доказательстве мы опираемся не напрямую на комбинаторное правило умножения, а на ранее выведенные формулы числа перестановок и размещений.

Сперва замечаем, что  (по комбинаторному правилу умножения), значит, .

И затем проводим аналогичные рассуждения для общего случая:

Учитывая, что , где п ≤ k, получаем, что

– формула вычисления числа сочетаний из п по k, где k ≤ п.

5. Рассматриваем примеры задач на нахождение числа сочетаний из учебника на с. 184–185.