Распространение световых волн в изотропных средах 7 страница

Аналогичный вывод можно сделать и для волны распространяющейся со скоростью составляющие вектора относятся следующим образом:

Теперь докажем, что плоскости колебаний векторов и взаимно перпендикулярны. Для этого запишем выражение (6.1) для каждой из рассматриваемых волн:

(6.12)

Умножим скалярно первое уравнение (6.12) на , а второе – на и вычтем из второго уравнения первое. Тогда с учетом того, что , получим:

(6.13)

Раскрывая в левой части (6.10) скалярные произведения с учетом того, что

получаем:

Следовательно, если , то , т.е. плоскости колебаний векторов и взаимно перпендикулярны.

4. Прямая, вдоль которой фазовые скорости обеих линейно поляризованных волн, распространяющихся в кристалле, одинаковы, называется оптической осью первого рода. Показать, что в кристалле существуют две оптические оси, и, рассмотрев случай вырождения двухосной кристалла в одноосный, вычислить фазовые скорости распространения волны в этом случае.

Решение:

В случае если волна распространяется в анизотропной среде с фазовой скоростью , то волновой вектор этой волны будет совпадать с оптической осью такой среды. Определив направление такого волнового вектора, получим направление оптической оси кристалла.

Из условия (6.11) следует, что равенство возможно, когда . В этом случае выражение (6.10) принимает вид:

(6.14)

Если все три главные скорости , , различны, то из (6.14) следует, что , т.е. волновой вектор лежит в плоскости , а следовательно, оптические оси, если они существуют, также лежат в плоскости (рис. 6.3). Найдем угол между этим волновым вектором и осью . Так как и , то формула Френеля (6.6) принимает вид:

Откуда

Рис 6.3.

Если ввести в рассмотрение главные показатели преломления кристалла:

, , .

то

Таким образом, оптические оси лежат в плоскости и расположены симметрично относительно оси . Ясно, что оптически двухосный кристалл вырождается в одноосный, если оптическая ось совпадает либо с осью , либо с осью . Пусть оптическая ось совпадает с осью (положительный кристалл); в этом случае и, следовательно, . Формула Френеля в этом случае принимает вид:

(6.12)

Первый корень этого уравнения . Этому корню соответствует так называемая обыкновенная волна. Показатель преломления для этой волны не зависит от распространения.

Второй корень уравнения (6.12)

, (6.13)

где , , – угол между осью и нормированным вектором волновой нормали .

Формуле (6.13) соответствует необыкновенная волна. Показатель преломления необыкновенной волны зависит от направления распространения волнового фронта. Как известно, вектор обыкновенной волны колеблется перпендикулярно к оптической оси, т.е. вдоль оси х, а вектор необыкновенной волны – вдоль оптической оси . Поскольку , скорость распространения обыкновенной волны больше скорости необыкновенной.

Направление, вдоль которого колеблется вектор волны, распространяющейся с наибольшей скоростью в кристалле, называется быстрой осью, а наименьшей – медленной осью. В нашем примере быстрой осью является ось х.

5. Призма Волластона изготовлена из исландского шпата так, что в левой части призмы оптическая ось параллельна плоскости чертежа (рис. 6.4), а в правой – перпендикулярна.

Рис. 6.4.

Показатель преломления обыкновенного луча необыкновенного угол . Рассчитайте, на какой угол будут разведены обыкновенный и необыкновенный лучи.

Решение:

В левой части призмы распространяются две волны - обыкновенная и необыкновенная, причем вектор обыкновенной волны колеблется в плоскости, перпендикулярной к оптической оси, а вектор необыкновенной волны – параллельно оптической оси. После преломления на границе раздела сред обыкновенный луч становится необыкновенным и наоборот. Учитывая это, запишем закон преломления на границе раздела:

; .

где – синус угла падения на границу раздела сред в призме для обыкновенного и необыкновенного лучей, соответственно.

Законы преломления на границе раздела призма-воздух имеет вид:

; .

Подставляя численные значения из условия задачи, получаем:

; .

Следовательно, полный угол .

При решении многих задач в кристаллооптике полезно использовать матричное представление электромагнитных волн и преобразование этих полей при прохождении через кристаллы. В соответствии с этим представлением вектор плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси , описываемый выражением:

можно представить с помощью вектора Джонса:

где ; , – единичные векторы, направленые вдоль положительных направлений осей и ; , – начальные фазы составляющих колебаний.

Восстановить полное описание электромагнитной волны можно, если вектор Джонса умножить на :

Обычно абсолютные значения фаз колебаний , и не представляют практического интереса, и более важным является значение разности фаз колебаний:

Поэтому векторы Джонса чаще записываются в виде:

Интенсивность электромагнитной волны будем определять, умножая вектор Джонса на эрмитово-сопряженный вектор , т.е.:

Обычно при расчетах полагают интенсивность волны равной 1, поэтому

Основным достоинством введения вектора Джонса является то, что с его помощью легко описываются различные поляризационные состояния света. Так, для линейно поляризованного света единичной интенсивности с азимутом поляризации к оси вектор Джонса имеет вид:

Для лево- и право- циркулярно-поляризованного света соответственно вектор Джонса имеет вид:

;

Для лево- и право- эллиптически поляризованного света с отношением малой или большой осей и с большой осью, направленной по оси имеем:

Чтобы получить вектор Джонса в системе координат , повернутой на угол относительно системы х О у, необходимо воспользоваться матрицей поворота:

где – матрица поворота:

При прохождении излучения через элементы, изменяющие его состояние поляризации, вектор Джонса преобразуется следующим образом:

, (6.14)

где – матрица Джонса поляризационного элемента.

Ниже приведены матрицы Джонса для различных поляризационных элементов.

а. Идеальный линейный поляризатор, ориентированный под углом к оси :

(6.15)

б. Фазовая пластинка, вносящая разностью фаз , быстрая ось которой ориентирована под углом к оси :

(6.16)

В том числе:

полуволновая пластинка ():

четвертьволновая пластинка ():

в. Оптический вращатель, поворачивающий плоскость поляризации на угол , где – вращательная способность оптически активного кристалла, – толщина кристалла:

Вращательная способность определяется выражением

где – длина волны света в вакууме; – разность показателей преломления для право- и лево- циркулярно поляризованного света.

В системе координат х О у, действие поляризационного элемента, заданного в системе координат , повернутой на угол , описывается следующим образом:

6. Найти интенсивность света, прошедшего через кристаллическую пластину, вносящую разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, если пластинка находится между двумя идеальными поляризаторами, плоскости поляризации которых составляют углы и с быстрой осью пластинки. Исследовать случаи скрещенного и параллельного положения плоскостей поляризации поляризаторов.

Решение:

Введем систему координат х О у, оси которой совпадают с быстрой и медленной осями кристаллической пластинки, и систему , ось которой совпадает с главной плоскостью первого поляризатора (рис. 6.5), Тогда вектор Джонса излучения, прошедшего через первый поляризатор в системе , имеет вид:

Рис 6.5.

где – интенсивность излучения на входе поляризатора .

Этот вектор в системе координат х О у будет иметь следующий вид:

Используя последовательно (6.14), матрицы кристаллической пластины (6.16) при азимуте, равном 0, а также матрицу поляризатора (6.15), для вектора Джонса получаем следующее выоажени:

После перемножения матриц получаем:

Следовательно, интенсивность излучения на выходе:

Если плоскости поляризации поляризаторов параллельны (),

Если плоскости поляризации поляризаторов скрещены (),

7. Линейно поляризованный свет проходит через кристаллическую фазосдвигающую пластинку. Известно, что плоскость поляризации составляет угол с осью , совпадающей с одним из главных направлений пластинки, а вносимый ею фазовый сдвиг равен (рис. 6.6). Показать, что на выходе из пластинки свет будет эллиптически поляризованным; найти угол, который образуют оси этого эллипса с осью , и отношение длин осей эллипса.

Рис 6.6.

Решение:

Считая интенсивность пучка равной единице, запишем вектор Джонса на входе кристаллической пластинки:

Пусть быстрая ось пластинки совпадает с осью , тогда вектор Джонса на выходе пластины будет иметь вид:

Полученный вектор Джонса соответствует эллиптически поляризованному свету.

Для нахождения ориентации и отношения осей эллипса поляризации пропустим излучение через поляризатор, главная плоскость которого составляет произвольный угол с осью . Тогда на выходе поляризатора получим:

Переходя к интенсивности получаем:

Полученное выражение показывает, что интенсивность является функцией угла , и при углах и , совпадающих с осями эллипса, принимает экстремальные значения. Поэтому условием для нахождения и является равенство нулю производной .