Понятия и определения

Уравнения связей системы тел. Положение системы по отношению к инерциальной системе отсчета определяют 6N скалярных параметров  (координаты, углы), . Положение  системы совместимо со связями, то есть    удовлетворяет геометрическим уравнениям связей

а движение   удовлетворяет еще и кинематическим уравнениям связей, полученным из  уравнений связи дифференцированием их по времени один и два раза. Скалярные функции векторного аргумента  дважды непрерывно дифференцируемы по времени, а функционально независимые уравнения связей для любого момента времени позволяют выбрать   независимых элементарных перемещений  из уравнений связей в вариациях

Элементарные перемещения  называются возможными (виртуальными) перемещениями, а скалярные параметры (координаты и углы)  которые соответствуют, независимым из них , называют обобщенные координаты. Говорят, что виртуальные перемещения совместимы со связями.

Несовместимые со связями  элементарные перемещения    системы тел произвольны, независимы и не удовлетворяют уравнениям связей.   

Силы инерции твердого тела. Главный вектор и главный момент сил инерций тела.

Поле элементарных сил инерций   твердого тела определим   по Даламберу    

по полю абсолютных ускорений  всех его элементарных масс , положение которых по отношению к центру масс С задается векторами .

При этом поле ускорений имеет вид:

Здесь  есть абсолютное ускорение центра масс тела,  есть абсолютная угловая скорость, а  есть абсолютное угловое ускорение тела. В системе координат, связанной с телом, векторы   постоянны.

Определение. Для тела вектор                            

есть главный вектор сил инерций,    

а вектор                               

есть   главный момент сил инерций относительно центра масс С.

Докажем, что в системе координат, связанной с телом, главный момент сил инерции вычисляется по формуле

Здесь  есть оператор инерции тела относительно осей координат, связанных с телом, с началом в центре масс С. Элементы его матрицы  постоянны.

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то момент сил инерции относительно  имеет тот же вид, только его выражают через оператор инерции  относительно неподвижной точки.

Силы взаимодействия тел механической системы подразделяются на активные силы  бесконтактного взаимодействия тел и силы контактного взаимодействия    (акции и реакции).  Добавим к ним для каждого тела силы инерции и вычислим их элементарную работу.

Элементарная работа сил инерции твердого тела на виртуальных  перемещении тела вычисляется так:

Здесь элементарное перемещение центра масс  и элементарный угол поворота  тела определяются полем элементарных перемещений точек тела

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то, взяв поле элементарных перемещений в виде

где вектор  индивидуализирует положения элементарных масс тела в системе подвижных координат с началом в неподвижной точке, получим:

Если в плоском движении тела момент импульса  тела параллелен вектору угловой скорости  и виртуальному перемещению  (это имеет место, когда оператор инерции записан в главных осях), то

Здесь  есть осевой момент инерции тела относительно оси . Для этого необходимо, чтобы эта ось была главной осью оператора инерции тела.

Если в теле имеется неподвижная ось вращения , проходящая через некоторую точку  тела или мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку, то элементарная  работа сил инерции тела вычисляется по формуле;