Квант. 08.01.03. Поведение функции в устранимой особой точке (Т)

Параграф 1. Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.

Квант. 08.01.01. Определение изолированной особой точки однозначной аналитической функции (О)

Рассмотрим однозначную функцию  и точку  в которой функция не является аналитической

Пусть  аналитична в некоторой проколотой окрестности точки  

(в самой точке  функция может быть и не определена).

Тогда точка  называется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

 

Квант. 08.01.02. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции (О)

Рассмотрим изолированную особую точку  однозначной аналитичекой функции

В  проколотой окрестности точки  

в которой функция  аналитична, разложим ее в ряд Лорана

Тогда

1) Если главная часть в разложении Лорана отсутствует, т.е.

     то точка  называется устранимой особой точкой.

2) Если главная часть разложения Лорана содержит конечное число членов, т.е.

то точка  называется полюсом, а число  называется порядком полюса. При  полюс называется простым.

3) Если главная часть разложения Лорана содержит бесконечное число членов, то точка  называется существенно особой точкой.

Рассмотрим поведение функции в проколотой окрестности особой точки.

Квант. 08.01.03. Поведение функции в устранимой особой точке (Т)

Рассмотрим однозначную аналитическую функцию

Пусть  ее устранимая особая точка

Тогда для этого необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела конечный предел

Доказательство.

1) Пусть устранимая особая точка. Тогда в проколотой окрестности  имеет место разложение

и, следовательно, существует конечный предел

Полагая , мы получим функцию аналитическую в точке  (устраним особенность).

Обратно, пусть функция  аналитична в проколотой окрестности  точки , и существует конечный предел

Следовательно, функция  ограничена в замкнутом круге

 

Оценим коэффициенты главной части разложения Лорана (так же как мы оценивали коэффициенты Тейлора)

Устремляя  к нулю, получим  и, следовательно, . Это значит, что главная часть разложения Лорана отсутствует и точка  является устранимой особой точкой.

Замечание.

Полагая

мы получим функцию аналитическую в точке  (устраним особенность).

Пример.
Эта функция является отношением двух аналитических функций и, следовательно, аналитична во всех точках кроме тех, где знаменатель обращается в нуль. То есть кроме точек , которые являются изолированными особыми точками (в них функция не определена). Рассмотрим точку

Доопределим нашу функцию в этой точке, положив  Получим функцию аналитическую в точке

Точка  для этой функции является полюсом первого порядка (простым полюсом). Поскольку в разложении в ряд Лорана в окрестности точки  (по степеням  правильная часть отсутствует, а главная состоит из одного члена

Вычислим предел

Это свойство (равенство предела бесконечности) является характеристическим для полюса.