Рассмотрим изолированную особую точку , которая является полюсом го порядка для однозначной аналитичекой функции
Пусть
Тогда
В частности для простого полюса ( имеем
Доказательство.
Пусть полюс го порядка функции . Ее разложение Лорана в окрестности полюса
Нам нужно найти коэффициент Для этого умножим разложение на и продифференцируем раз.
Переходя к пределу при , получим искомый коэффициент.
В частности, для простого полюса ( имеем
Квант. 08.02.06. Вычисление вычета относительно простого полюса для частного двух функций (Т)
Рассмотрим изолированную особую точку , которая является простым полюсом для однозначной аналитичекой функции
Пусть
Тогда
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда функция представляется в виде частного и имеет в точке простой полюс, т.е.
Тогда
Пример.
Особые точки – это нули знаменателя. Найдем их.
Таким образом, все нули косинуса лежат на действительной оси. Поскольку , то простые полюсы тангенса и вычеты в них равны
|
|
Квант. 08.02.07. Основная теорема о вычетах (Т)
Рассмотрим замкнутый контур , который лежит в области аналитичности функции
Пусть внутри контура имеется конечное число особых точек функции
Тогда
Доказательство.
Вырежем особые точки замкнутыми контурами , которые не пересекаются друг с другом и все лежат внутри контура Тогда по теореме Коши для многосвязной области
Теорема доказана.
Квант. 08.02.08. Вторая теорема о вычетах (Т)
Рассмотрим однозначную аналитическую функцию
Пусть функция имеет конечное число особых точек в плоскости
Тогда
Доказательство.
Если функция имеет конечное число особых точек в плоскости , то выбрав замкнутый контур , содержащий внутри себя все особые точки, получим
Таким образом