Математические примеры и задачи

Указать все особые точки, включая бесконечно удалённую, заданных функций и определить их характер.

1.

Решение. Особыми точками будут нули знаменателя дроби и бесконечно удаленная точка.Для знаменателя заданной дроби точки

являются нулями соответственно первого, первого и третьего порядков. Числитель дроби в этих точках в нуль не обращается. Следовательно, эти точки будут полюсами нашей функции соответственно первого, первого и третьего порядков. Рассмотрим теперь бесконечно удаленную точку. В числителе дроби стоит многочлен первого порядка, в знаменателе – пятого, поэтому

Значит, бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой. Поскольку

то бесконечно удаленная точка является нулем четвертого порядка для нашей функции.

Перечислим все особые точки и укажем их характер

 простой полюс,

 простой полюс,

полюс 3-го порядка,

 устранимая особая точка.

 

2.   

Решение. Особыми точками будут нули знаменателя дроби и бесконечно удаленная точка. Найдем нули знаменателя. Для этого найдем все решения в комплексной плоскости уравнения

То есть все нули синуса лежат на действительной оси и новых нулей в комплексной плоскости у него не добавляется. Выясним порядок этих нулей. Поскольку

то  являются нулями первого порядка для синуса. В точках

числитель дроби тоже имеет нули первого порядка, поэтому эти точки будут устранимыми особыми точками нашей функции, остальные нули знаменателя будут простыми полюсами нашей функции. Поскольку

то в любой окрестности бесконечно удаленной точки найдутся другие особые точки нашей функции (полюсы). То есть бесконечно удаленная точка не является изолированной особой точкой, она является предельной точкой для полюсов.

Перечислим все особые точки и укажем их характер

устранимые особые точки,

  простые полюсы,

   не является изолированной особой точкой, она является предельной точкой для полюсов.

 

3.

Решение. Особые точки  

 полюс 4-го порядка,

 существенно особая точка.

Разложение Лорана в кольце , которое является проколотой окрестностью и нуля и бесконечно удаленной точки, имеет вид

Для точки  главная часть разложения Лорана

Для точки  главная часть разложения Лорана

содержит бесконечно много членов.

Замечание. Точка  будет существенно особой также для функций

4.

Решение. Особые точки  

 существенно особая точка, поскольку разложение Лорана в кольце , которое является проколотой окрестностью точки ,

Главная часть содержит бесконечно много членов.

 устранимая особая точка, поскольку

 

Замечание. Точка  будет существенно особой также для функций

 

Параграф 2. Вычеты.