Квант. 08.01.12. Классификация бесконечно удаленной изолированной особой точки по поведению функции (О)

Рассмотрим изолированную бесконечно удаленную особую точку  однозначной аналитичекой функции

Пусть

1. существует конечный

2.

3. не существует

 

      Тогда соответственно точка  является

4. устранимой особой точкой

5. полюсом

6. существенно особой точкой

  

Замечание.

 Чтобы провести классификацию по виду разложения Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки  , заметим, что

Поэтому классификацию можно провести по виду разложения Лорана функции  в окрестности нуля  . При этом положительные степени  переходят в отрицательные степени  и наоборот.

Главная часть разложения  теперь содержит положительные степени

Получаем классификацию особенностей в бесконечности по виду    главной части разложения Лорана в окрестности .

 

Квант. 08.01.12. Классификация бесконечно удаленной изолированной особой точки по виду ряда Лорана (О)

Рассмотрим изолированную бесконечно удаленную особую точку  однозначной аналитичекой функции

В  проколотой окрестности точки  

в которой функция  аналитична, разложим ее в ряд Лорана

Тогда

1) Главная часть в разложении Лорана отсутствует

 

Точка устранимая особая точка. Полагая

получим функцию аналитическую в бесконечно удаленной точке.

2) Главная часть в разложении Лорана содержит конечное число членов

Точка полюс го порядка.

 

3) Главная часть в разложении Лорана содержит бесконечно много членов. Точка существенно особая точка.

Примеры.

1. Для многочлена го порядка бесконечно удаленная точка является полюсом го порядка. Других особых точек в конечной части плоскости он не имеет. Это целая рациональная функция.

2. Для функции

бесконечно удаленная точка является существенно особой точкой. Других особых точек в конечной части плоскости она не имеет. Это целая трансцендентная функция.