Замена переменной в определённом интеграле

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле). Пусть функция y = f (x) непрерывна на [ a, b ]. Если функция  имеет непрерывную производную на отрезке  при  значение функции  и, кроме того, то справедлива формула

                                  (9)

Алгоритм замены переменной в определённом интеграле:

1. Старую и новую переменные связать соотношением ;

2. Найти связь между дифференциалами переменных x и t:

3. Определить новые пределы интегрирования α и β из уравнений

4. В искомом интеграле перейти к новой переменной по формуле (9) и заменить пределы интегрирования. Проинтегрировать и вычислить по формуле Ньютона–Лейбница (8).

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.

 

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула интегрирования по частям (3) в случае определённого интеграла приобретает вид:

                       (10)

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.

 

Приложения определённого интеграла

Определённый интеграл используется в различных приложениях: при вычислении площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения, работы переменной силы на отрезке, пути, пройденного за промежуток времени, статических моментов и моментов инерции плоских дуг и фигур и т. д.

Площади плоских фигур