Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим некоторые из интегралов от тригонометрических функций. Виды интегралов и способы их вычисления приведем в табл. 2.

Таблица 2.

Вид интеграла	Метод интегрирования
Общий случай	Замена
, где	Замена
, где	Замена
, где	Замена
	Замена Если , то необходимо учитывать формулу
	Замена Если , то необходимо учитывать формулу
	Использовать формулы понижения степени:
	Использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Пример. Найти интегралы:

Решение.

Интегрирование простейших иррациональных функций

Определение. Иррациональностью от называют выражение, содержащее переменную в дробной степени.

Рассмотрим интеграл

где R рациональная функция по каждой из своих переменных; m ₁, n ₁, m ₂, n ₂,... целые числа.

Подстановка, рационализирующая подынтегральную функцию, имеет вид:

где S наименьшее общее кратное (НОК) чисел , т. е. наименьшее натуральное число, делящееся нацело на .

Пример. Проинтегрировать иррациональность .

Решение.

Тригонометрические подстановки

Рассмотрим интегралы, которые приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью надлежащей тригонометрической подстановки. Виды интегралов и способы их вычисления приведем в табл. 3.