Несобственные интегралы

Определение. Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Пусть функция  определена и непрерывна на полусегменте  Возьмём любое  и рассмотрим интеграл  

Определение. Если существует конечный предел  то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале  и обозначается  Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если при интеграл  не имеет конечного предела, то говорят, что интеграл  не существует или расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла  состоит в том, что при для всех  он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями  и осью ОХ.

Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках

 где с – любая точка на интервале  причём  существует, если сходятся оба интеграла в правой части, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы 1-го рода.

где  первообразная для , т.е.

Аналогично,  и

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение.

Значит, интеграл сходится и его величина равна

Рассмотрим несобственные интегралы 2-го рода. Пусть функция  имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна при  и  тогда полагают, что несобственный интеграл определяется формулой:

                        (16)

При этом несобственный интеграл называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Геометрический смысл несобственного интеграла  состоит в том, что при  для всех  он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями  и осью ОХ.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 2-го

рода, так как промежуток интегрирования содержит точку бесконечного разрыва поэтому согласно формуле (16):

 несобственный интеграл расходится.