Несобственные интегралы

Определение. Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Пусть функция определена и непрерывна на полусегменте Возьмём любое и рассмотрим интеграл

Определение. Если существует конечный предел то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале и обозначается Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если при интеграл не имеет конечного предела, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла состоит в том, что при для всех он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями и осью ОХ.

Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках

где с – любая точка на интервале причём существует, если сходятся оба интеграла в правой части, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы 1-го рода.

где первообразная для , т.е.

Аналогично, и

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение.

Значит, интеграл сходится и его величина равна

Рассмотрим несобственные интегралы 2-го рода. Пусть функция имеет бесконечный разрыв в точке и непрерывна при и тогда полагают, что несобственный интеграл определяется формулой:

(16)

При этом несобственный интеграл называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.