Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически , и функции имеют непрерывные производные при всех , то длина дуги , соответствующей изменению параметра от до , вычисляется по формуле:

(14)

Пример. Найти длину дуги кривой

а) б)

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением

, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (13). Найдём и подставим в (13):

б) Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (14). Найдём : и подставим в (14):

Вычисление объёмов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 5), то его объём вычисляется по формуле:

(15)


Рис. 5	Рис. 6

Пример. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить искомый объем тела вращения, из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ: . По формуле (15) найдём и : (ед. объёма);