2020-05-12
212
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим следующую задачу. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности k 1 и k 2 соответственно. Описать протекание демографического процесса, т.е., найти закон изменения численности населения с течением времени.
Пусть 
число жителей региона в момент времени t. Прирост населения 
за время 
равен разности между числом родившихся и умерших за это время: 
Переходя к пределу при 
получаем уравнение:
(20)
Решая это уравнение, получаем математическую модель демографического процесса: 
, где С – постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).
Отметим особенности уравнения (20):
1. Искомая функция зависит только от одной переменной.
2. Уравнение, определяющее эту искомую функцию, наряду с заданной функцией, содержит также производную от неизвестной функции.
|
|
|
Такие уравнения будем называть обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называют соотношение вида:
(21)
где х – независимая переменная, 
неизвестная функция переменной х, 
производные этой функции, F – некоторая заданная функция своих аргументов, определённая в некоторой области D 
мерного пространства.
Порядком ДУ называется порядок старшей производной. Уравнение порядка n обязательно должно содержать производную 
, при этом
другие аргументы функции F могут отсутствовать.
Нахождение всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием.
