Приближённое вычисление определённых интегралов

Пусть требуется вычислить , где функция непрерывна на отрезке  Точками  разобьём отрезок на n равных частей, длина каждой из которых равна  В точках восстановим перпендикуляры к оси ОХ, таким образом разобьём криволинейную трапецию с основанием  и ограниченную сверху графиком функции  на n малых криволинейных трапеций с равными основаниями длиной  (на рис. 8 и 9 показано разбиение на n=3 частей). Обозначим  (  значения функции  в точках разбиения).

Метод прямоугольников

Учитывая геометрический смысл определённого интеграла и заменяя приближённо площади малых криволинейных трапеций площадями соответствующих прямоугольников с теми же основаниями (рис. 7), получаем:

Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:

                        (17)

Рис. 7

Формула (17) называется формулой «левых прямоугольников» для приближённого вычисления определённого интеграла. Выбирая прямоугольники другим способом, получим формулу «правых прямоугольников»:

                      (18)

Чем больше число разбиений n, тем точнее приближённое значение определённого интеграла, вычисленного по формулам (17) и (18).

Чтобы оценить найденное приближённое значение определённого интеграла, число n отрезков разбиения увеличивают в два раза, сравнивают полученные значения интегралов и оставляют первые совпадающие знаки, если точность недостаточна, то снова удваивают число разбиений и т.д.

Отметим, что погрешность R формул прямоугольников оценивается

формулой: где М ₁ – верхняя граница модуля первой производной функции на отрезке , т.е.

Метод трапеций

Каждую малую криволинейную трапецию приближённо заменим линейной трапецией (рис.8), площадь которой  Тогда

Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:

                        (19)

Рис. 8

Формула (19) называется формулой трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла. Для погрешности R формулы (19) справедлива   оценка  где М ₂ – верхняя граница модуля второй производной функции на отрезке , т.е.

Мы привели только два метода приближённого вычисления определённого интеграла, существуют и другие численные методы вычисления определённых интегралов, учитывающих особенности подынтегральных функций.