Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Согласно определению ДУ n -го порядка имеют вид (21). Будем рассматривать уравнения, разрешённые относительно старшей производной:

(33)

Одним из способов интегрирования таких уравнений является понижение порядка. Рассмотрим несколько частных случаев.

I. ДУ вида т. е. правая часть является функцией одной переменной x. Такие ДУ решаются последовательным интегрированием n раз. Следовательно, полученное решение будет содержать n произвольных постоянных С ₁, С ₂,…, С _n. Такое решение будем называть общим. Фиксируя произвольные постоянные, будем получать решения, называемые частными.

Пример. Найти общее решение ДУ

Решение. Согласно определению производная четвёртого порядка является производной от производной третьего порядка, следовательно, уравнение можно переписать в виде Умножим обе части уравнения на dx и получим Проинтегрируем полученное равенство, при этом используем для формулу понижения степени, и получим:

Аналогично получим интегрированием

II. ДУ вида где Это уравнение допускает понижение порядка на k единиц с помощью постановки где тогда и уравнение примет вид Если его удастся проинтегрировать, то найдём или а это – уравнение типа I.

Пример. Найти общее решение ДУ

Решение. Это уравнение не содержит поэтому допускает понижение порядка на две единицы путём постановки В результате получим ДУ первого порядка Это ДУ с разделяющимися переменными. Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получаем

После интегрирования имеем: где

Учитывая, что получим Это ДУ типа I, решаем его последовательным интегрированием:

III. ДУ вида Это уравнение допускает понижение порядка на одну единицу, если сделать замену переменной: у – новая независимая переменная, а где новая искомая функция. Найдём Очевидно, что будет выражаться через и уравнение примет вид Если удастся это уравнение проинтегрировать, то получим или а это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение ДУ

Решение. Применяя замену получаем Это уравнение с разделяющимися переменными. Подставляя и разделяя переменные, получаем: После интегрирования получим: и или Заменяя и разделяя переменные, получаем: После интегрирования находим общий интеграл ДУ:

или

Добавим также, что уравнение имеет особое решение которое не получается из общего интеграла уравнения и соответствует случаю

3.8. Задача Коши для дифференциальных уравнений
высших порядков

Для дифференциального уравнения порядка n задача Коши ставится следующим образом: найти такое решение уравнения (33), которое удовлетворяло бы условиям: где некоторые заданные значения.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для ДУ порядка n). Пусть в уравнении (33) функция непрерывна в некоторой области D мерного пространства, а все частные производные ограничены в этой области. Тогда существует единственное решение уравнения (33), определённое и непрерывное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям: где любая точка, принадлежащая области D.