Свойства определенного интеграла

1.	2.
3.
4. А = const	5.

Вычисление определенного интеграла

Формула Ньютона – Лейбница

Определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен разности значений ее первообразной F (x) при х = b и х = а, где а и b нижний и верхний пределы интегрирования, т.е. имеет место формула

где - одна из первообразных функции f (x).

Пример:

Вычисление площади плоской фигуры

Если на отрезке [ а; b ] функция f (x) ≥ 0, то согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), осью ОХ и прямыми х = а и х = b, определяется по формуле

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х ² + 1; у = 0; х = 0; х = 3. Построим фигуру, площадь которой надо найти. Графиком функции у = х ² + 1 является парабола, симметричная относительно оси ОУ с вершиной в точке В (0; 1) (рис. 2). Тогда:

Если фигура ограничена линиями у = f ₁(x) и у = f ₂(x), где f ₂(x) ≥ f ₁(x), и прямыми х =а и х= b, то ее площадь определяется по формуле

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = – х ² +6 х –5, у = 1 – х.

Построим данную фигуру. Графиком первой функции является парабола,

симметричная относительно прямой, параллельной оси ОУ; ветвь параболы направлена вниз (рис.3). Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: – х ² + 6 х – 5 = 0; х ² - 6 х + 5 = 0;

; х ₁ = 5; х ₂ = 1. Найдем точки пересечения параболы с ОУ: при х = 0 у = – 5. Построим прямую у = 1 – х: при х = 0 у = 1; при у = 0 х = 1. Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Рис. 3