2020-05-12
84
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: F (x, y, у', y'') = 0.
Решив уравнение относительно y'', получим: y'' = f (x, y, y').
В частных случаях некоторые из переменных x , y, y' могут отсутствовать.
Рассмотрим пример: y' = 2; 
; 
; d (y') = 2 dx; y' = 2 x + c 1;
: dy = (2 x + c 1) dx; y = x 2 + c 1x + c 2.
Мы видим, что дифференциальное уравнение второго порядка содержит две произвольные постоянные. Поэтому для получения частного решения необходимо задать начальные условия, которые записываются в виде:
; 
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y'' + рy' + qy =0, где р и q – действительные числа.
Для определения общего решения составим характеристическое уравнение: k 2 + pk + q = 0.
В зависимости от корней k 1 и k 2 этого уравнения вид общего решения представлен в таблице 1.
Таблица 1
| Корни характеристического уравнения | Вид общего решения |
1. 
| 
|
2. 
| 
|
3. 
| 
|
Примеры:
1) y'' - 7 y' + 10 у = 0
Составим характеристическое уравнение: k 2 –7 k +10 = 0;
решим его 
; k 1 = 5; k 2 = 2 – корни характеристического уравнения, действительные и различные. Тогда 
(случай 1).
2) y'' – 6 y' + 9 у = 0; k 2 – 6 k +9 = 0; (k –3)2 = 0; k 1 = k 2 = 3 – корни характеристического уравнения равные. Тогда у = (с 1 + с 2 х) е 3 х (случай 2).
3) y'' -8 y' + 25 у = 0; k 2 – 8 k +25 = 0; 
.
Тогда у = е 4 х (с 1cos3 x + c 2sin3 x) (случай 3).
