2020-05-12
88
Определенный интеграл 
, где промежуток интегрирования [ a;b ] конечный, а функция непрерывна на [ a;b ], называют еще собственным интегралом. Если нарушается непрерывность функции или границы промежутка интегрирования бесконечны, то интеграл называется несобственным.
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
. Если существует конечный предел 
, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают 
. Таким образом, по определению 
.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 
: 
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой 
, где с - произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция 
на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Примеры.
1. 
- интеграл сходится.
2. 
, предел не существует, значит, интеграл расходится.
3. 
- интеграл расходится.
Вопросы для самоконтроля.
1. Какой интеграл называется несобственным?
2. Как вычисляется несобственный интеграл?
3. Какой интеграл называется сходящимся?
4. Какой интеграл называется расходящимся?
5. Объясните геометрический смысл несобственного интеграла.
Литература: [4] стр. 273, [8] стр. 404, [6] стр. 312.
Примеры: [1] стр. 247, [7] стр. 180.
