Дифференциальные уравнения первого порядка. Задание 21-30

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные различных порядков. Такое уравнение имеет вид: F (x, y, y', y'' …. y ⁿ) = 0

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F (x, y, y') = 0 или y' = f (x, y).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Общим решением дифференциального уравнения 1 - го порядка называется функция , которая зависит от независимой переменной х и от одной произвольной постоянной с и удовлетворяет следующим условиям:

1)  удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении с;

2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение с = с₀, что функция удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения y' = f (x, y) называется любая функция , которая получается из общего решения , если произвольной постоянной с придать определенное значение с₀.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

               .

Метод решения: разделим обе части выражения на ,

получим  ,

или , или

Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интегрируем:  ,

 получаем , , .