Методические указания к выполнению задания

1. Определение уравнений состояния по заданной передаточной функции системы. Математическую модель в пространстве состояний объекта управления следует представить в следующем каноническом виде:

; (7)

, (8)

где: − вектор переменных состояния; , , и − матрицы, элементы которых следует определить по заданным передаточным функциям элементов системы управления и ее функциональной схеме.

Задача определения уравнений состояния по передаточной функции системы есть, по существу, известная в теории дифференциальных уравнений задача приведения линейных уравнений n -го порядка к нормальной форме Коши. Некоторое отличие состоит в том, что в теории управления принято рассматривать уравнения, в которые входят производные не только от выхода, но и от входа системы.

Полагаем, что система задана передаточной функцией (с параметром ):

(9)

и является строго реализуемой, т.е. r < n.

Из передаточных функций (2) и (3) видно, что объект управления имеет 2 переменные состояния: и , (следовательно, n=2, а r=1).

Уравнения состояния, получаемые по заданной передаточной функции системы, определяются с точностью до произвольного невырожденного преобразования. Поэтому данной передаточной функции соответствует множество различных уравнений состояния и поставленная задача решается неоднозначно. Выбор формы уравнений состояния зависит от того, как они будут использоваться в дальнейшем. Рассмотрим некоторые возможные варианты.

В некоторых приложениях желательно, чтобы значения переменных состояния соответствовали определенным физическим переменным. Тогда структура матриц А, В, G и С в уравнениях (7) и (8) оказывается заданной и задача состоит в нахождении некоторых их элементов. Эта задача может быть решена на основе обратного перехода от уравнений состояния к передаточной функции методом неопределенных коэффициентов.

Далее рассмотрим ситуацию, в которой физический смысл переменных состояния не имеет значения и выбор вида уравнений состояния происходит из других соображений.

Прежде всего, если задана только передаточная функция, естественно искать ее минимальную реализацию, т.е. такую форму уравнений состояния, при которой заданная передаточная функция получается при наименьшей размерности вектора переменных состояния(следовательно, - при минимально возможном порядке уравнений (7) и (8)). Как известно, минимальная реализация соответствует невырожденным (полностью управляемым и полностью наблюдаемым) системам. Для систем с одним входом и одним выходом это эквивалентно тому, что по уравнениям состояния получается несократимая передаточная функция, степень полинома знаменателя которой совпадает с размерностью вектора состояния. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в числителе и знаменателе заданной передаточной функции отсутствуют явно (структурно) выраженные общие сомножители. Это условие, впрочем, не исключает того, что передаточная функция задана в общем виде, но при определенных сочетаниях параметров найденная реализация не будет минимальной.

Итак, считаем, что степень знаменателя передаточной функции задана и равна n. Поскольку характеристический многочлен матрицы A совпадает со знаменателем передаточной функции, а степень характеристического многочлена равна размерности вектора переменных состояния, то искомые уравнения состояния должны быть n -го порядка.

Теперь можно использовать одну из канонических форм. Проще всего получаются уравнения состояния в форме управляемого канонического представления (УКП).

Эти уравнения для передаточной функции (9) составляют по следующему алгоритму:

....

Для представления полученных уравнений в матричной форме (7), (8) необходимо задать матицы A, B и C следующим образом:

; ; (11)

Действуя аналогичным образом с передаточной функцией (8) получим матрицу

. (12)

2. Составление уравнений состояния измерительного устройства. Из структурной схемы измерительного устройства (рис. 3) следует, что выходной сигнал измерительного устройства с передаточной функцией (4) связан с переменными состояния объекта управления уравнением наблюдения:

. (13)

3. Определение уравнений состояния П-регулятора. Из структурной схемы регулятора (рис. 2) и уравнений (1), (8) следует, что его выходной сигнал связан с переменными состояния объекта управления уравнением:

. (14)

4. Составление уравнений состояния замкнутой системы управления. Для этого из уравнения состояния объекта управления необходимо исключить управляющее воздействие, используя уравнение (14). В результате получим модель системы управления в пространстве состояний в следующем виде:

; (15)

, (16)

где:

; ; . (17)

Уравнения (15)-(17) описывают модель системы управления в пространстве состояний и их можно использовать для анализа системы управления и моделирования переходных процессов в этой системе.

6. Составим дискретную модель системы управления методом Эйлера. Для этого выполним квантование времени с постоянным шагом по формуле:

; .

В дискретный момент времени заменим производные по времени приближенными выражениями:

;

В правых частях дифференциальных уравнений в дискретный момент времени будем использовать приближенные значения переменных:

; ; .

В результате получим следующую систему разностных уравнений:

; ; (a)

; ; (b)

; k=1, 2, …, N. (c)

Для построения графиков переходных процессов необходимо решить на ЭВМ систему уравнений (15), (16) (с использованием формул (a), (b), (c)) с помощью математического пакета Mathcad.