Методические указания к выполнению задания

Определение начального состояния. Из решения уравнений (4), (5) определим начальные уровни в емкостях:

, (10)

где:

; ;

2. Составление линеаризованной математической модели ОУ в отклонениях от опороной траектории. Составим новые переменные (отклонения входных воздействий и уровней в емкостях от своих известных значений в моменты времени , ):

; ; ; .

Дифференциальное уравнение (1) представим в следующем виде:

, (11)

где

Разложим правую часть уравнения (11) в ряд Тейлора в окрестности состояния в моменты времени и оставим в этом разложении только линейные слагаемые. Тогда с учетом равенства (3) получим следующее линеаризованное уравнение:

, (12)

где:

;

− неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (3).

Аналогичным образом нелинейному дифференциальному уравнению (4) соответствует линеаризованное уравнение в отклонениях от опорной траектории:

, (13)

где:

;

− неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (4).

В результате уравнения состояния объекта управления в отклонениях от опорной траектории можно представить в следующем виде:

, (14)

где:

; ; ,

а элементами матриц и являются переменные параметры и , значения которых переопределяют в дискретные моменты времени .

В соответствии с заданием (табл. 1) в процессе управления изменяют положение только кранов, используемых для управления, а остальные клапаны остаются в начальном состоянии. Поэтому в уравнениях (12), (13) и (14) нужно учитывать только коэффициенты , стоящие сомножителями при управляющих воздействиях.

В частности, если для управления используют краны с номерами и , то , и матрицу нужно формировать так:

Уровнемер установлен в емкости с номером . В качестве выходного сигнала измерительного устройства будем считать отклонение уровня в емкости с номером от своего значения в момент времени . Тогда уравнение наблюдения примет вид:

или в матичной форме:

, (15)

где матрица имеет отличный от нуля элемент (с номером ); − погрешность измерений.

Таким образом, модель объекта управления в отклонениях от начального состояния включат в себя уравнение состояния (14) и уравнение наблюдения (15).

3. Моделирование переходных процессов. Для этого нужно методом Эйлера составить разностные уравнения состояния объекта управления (14) в моменты времени в предположении, что погрешность линеаризации :

, , (16)

и выполнить решение полученных уравнений с помощью Mathcad в цикле по , где .

4. Анализ управляемости и наблюдаемости ОУ. Анализ управляемости и наблюдаемости нужно выполнить в моменты времени по соответствующим критериям Калмана с использованием линеаризованной модели объекта управления (14), (15), имеющей две переменные состояния: и .