Методические указания к выполнению задания

 

1. Определение начального состояния. Уравнения (4), (5) представим в следующем эквивалентном виде:

;            

.

Или:

;              

.

Составим векторы и матрицу

; ;

.

Тогда в матричном виде уравнения (4), (5) можно представить так:

.

Из решения этого уравнения определим начальные уровни в емкостях:

.                                                                 (10)

2. Составление линеаризованной математической модели ОУ в отклонениях от начального состояния. Составим новые переменные (отклонения входных воздействий и уровней в емкостях от своих начальных значений):

; ; ; .

В начальном состоянии объект управления находится в установившемся состоянии. Поэтому  и .

Дифференциальное уравнение (1) представим в следующей форме:

,                                              (11)

где

.

Разложим правую часть уравнения (11) в ряд Тейлора в окрестности начального состояния и оставим в этом разложении только линейные слагаемые. Тогда с учетом равенства (3) получим следующее линеаризованное уравнение:

,            (12)

где:

; 

;

; 

;  (13)

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (3).

Аналогичным образом нелинейному дифференциальному уравнению (4) соответствует линеаризованное уравнение в отклонениях от начального состояния:

,        (14)

где:

; ;

; ;   (15)

.

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (4).

В результате уравнения состояния объекта управления в отклонениях от начального состояния можно представить в следующем виде:

,                                                                    (16)

где элементами матриц   и  являются постоянные коэффициенты  и , вычисленные по формулам (13) и (15).

В соответствии с заданием (табл. 1) в процессе управления изменяют положение только клапана, используемого для управления (), а остальные клапаны остаются в начальном состоянии (). Поэтому в уравнениях (12) и (14) нужно учитывать только коэффициенты , стоящие сомножителями при управляющем воздействии.

В частности, если для управления используют клапан с номером , то  и матрицу  нужно формировать так:

.

Уровнемер установлен в емкости с номером . В качестве выходного сигнала  измерительного устройства будем считать отклонение уровня в емкости с номером  от своего начального значения. Тогда уравнение наблюдения примет вид:

,

или в матичной форме:

,                                                                             (17)

где матрица  имеет отличный от нуля элемент  (с номером );  − погрешность измерений.

Таким образом, модель объекта управления в отклонениях от начального состояния включат в себя уравнение состояния (16) и уравнение наблюдения (17).

3. Анализ управляемости и наблюдаемости ОУ. Анализ управляемости и наблюдаемости нужно выполнить по соответствующим критериям Калмана с использованием линеаризованной модели объекта управления (16), (17), имеющей одно управляющее воздействие и две переменные состояния:  и .

Для этого нужно при числе переменных состояния  сформировать матрицу управляемости

,

матрицу наблюдаемости

и проверить с помощью Mathcad выполнение условий управляемости и наблюдаемости:

; .

4. Моделирование переходных процессов. Для этого нужно методом Эйлера составить разностные уравнения состояния объекта управления (см. методические указания к лабораторной работе № 1) и выполнить решение полученных уравнений с помощью Mathcad.