2020-05-13
98
1. Определение начального состояния. Уравнения (4), (5) представим в следующем эквивалентном виде:
;
.
Или:
;
.
Составим векторы и матрицу
; 
;
.
Тогда в матричном виде уравнения (4), (5) можно представить так:
.
Из решения этого уравнения определим начальные уровни в емкостях:
. (10)
2. Составление линеаризованной математической модели ОУ в отклонениях от начального состояния. Составим новые переменные (отклонения входных воздействий и уровней в емкостях от своих начальных значений):
; 
; 
; 
.
В начальном состоянии объект управления находится в установившемся состоянии. Поэтому 
и 
.
Дифференциальное уравнение (1) представим в следующей форме:
, (11)
где
.
Разложим правую часть уравнения (11) в ряд Тейлора в окрестности начального состояния и оставим в этом разложении только линейные слагаемые. Тогда с учетом равенства (3) получим следующее линеаризованное уравнение:
, (12)
где:
;
;
;
; (13)
− неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (3).
Аналогичным образом нелинейному дифференциальному уравнению (4) соответствует линеаризованное уравнение в отклонениях от начального состояния:
, (14)
где:
; 
;
; 
; (15)
.
− неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (4).
В результате уравнения состояния объекта управления в отклонениях от начального состояния можно представить в следующем виде:
, (16)
где элементами матриц 
и 
являются постоянные коэффициенты 
и 
, вычисленные по формулам (13) и (15).
В соответствии с заданием (табл. 1) в процессе управления изменяют положение только клапана, используемого для управления (
), а остальные клапаны остаются в начальном состоянии (
). Поэтому в уравнениях (12) и (14) нужно учитывать только коэффициенты , стоящие сомножителями при управляющем воздействии.
В частности, если для управления используют клапан с номером 
, то 
и матрицу нужно формировать так:
.
Уровнемер установлен в емкости с номером 
. В качестве выходного сигнала 
измерительного устройства будем считать отклонение уровня в емкости с номером от своего начального значения. Тогда уравнение наблюдения примет вид:
,
или в матичной форме:
, (17)
где матрица 
имеет отличный от нуля элемент 
(с номером ); 
− погрешность измерений.
Таким образом, модель объекта управления в отклонениях от начального состояния включат в себя уравнение состояния (16) и уравнение наблюдения (17).
3. Анализ управляемости и наблюдаемости ОУ. Анализ управляемости и наблюдаемости нужно выполнить по соответствующим критериям Калмана с использованием линеаризованной модели объекта управления (16), (17), имеющей одно управляющее воздействие и две переменные состояния: 
и 
.
Для этого нужно при числе переменных состояния 
сформировать матрицу управляемости
,
матрицу наблюдаемости
и проверить с помощью Mathcad выполнение условий управляемости и наблюдаемости:
; 
.
4. Моделирование переходных процессов. Для этого нужно методом Эйлера составить разностные уравнения состояния объекта управления (см. методические указания к лабораторной работе № 1) и выполнить решение полученных уравнений с помощью Mathcad.
