ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математики, физики и информатики
Уколов А.И.
Растопчина О.М.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Практикум
по выполнению контрольной работы
для студентов направления подготовки
38.03.01 «Экономика»
заочной формы обучения
Керчь, 2016 г.
|
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 4
ВЫБОР ВАРИАНТА ЗАДАНИЙ.. 6
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ. 6
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. 16
1 Случайные события. Задачи типа 1. 16
2 Случайные величины. Задачи типа 2, 3. 24
3 Нормальный закон распределения. Задачи типа 4. 30
4 Математическая статистика. Задачи типа 5. 32
5 Элементы корреляционного и регрессионного анализа. Задачи типа 6. 39
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ КСЕМЕСТРОВОМУ КОНТРОЛЮ... 43
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 45
Приложение А Таблица значений функции .................... 46
|
|
Приложение Б Таблица значений функции .............................. 47
ВВЕДЕНИЕ
Настоящий практикум предназначен для студентов направления подготовки 38.03.01 «Экономика» содержит контрольные задания и методические указания к решению задач, вопросы для подготовки к семестровому контролю по теории вероятностей и математической статистике.
Для студентов заочной формы обучения согласно рабочей программе предусмотрена одна контрольная работа. При выполнении контрольной работы студент должен следовать рекомендациям:
- работу необходимо выполнить в тетради, на обложке которой должны быть указаны номер контрольной работы, фамилия и инициалы студента, полный шифр, дата отсылки работы в университет;
- при решении задач необходимо указать номер задачи и ее условие, решение задачи должно сопровождаться достаточно подробными пояснениями;
- все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики выполнены аккуратно;
- для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует на каждой странице оставлять поля.
После получения из университета рецензированной контрольной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки. Если работа не допущена к защите, то после устранения замечаний преподавателя студент должен предоставить работу на повторное рецензирование. Ошибки следует исправлять в той же тетради.
Перед семестровым контролем студент должен защитить контрольную работу. Защита предполагает проверку того, что работа выполнена студентом самостоятельно. Поэтому при защите студент должен быть готов дать пояснения к решенным задачам или решить подобные задачи.
|
|
На семестровый контроль необходимо представить преподавателю защищенную контрольную работу.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки. Контрольная работа состоит из шести заданий.
ВЫБОР ВАРИАНТА ЗАДАНИЙ
Вариант контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного шифра зачетной книжки студента.
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
ВАРИАНТ 1
1. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность, что на базу поступит: а) ровно три негодных изделия; б) не более двух негодных изделий.
2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартные. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =7и среднее квадратическое отклонение =2 нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (5; 9); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =3;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
11,5 | 12,5 | 13,5 | 14,5 | 15,5 | 16,5 | 17,5 | |
4 | 11 | 25 | 30 | 15 | 10 | 5 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
X | 16 | 19 | 21 | 18 | 17 | 22 | 25 | 20 | 23 | 17 |
y | 15,1 | 16,9 | 24 | 21,1 | 16,5 | 16,5 | 26,3 | 22,3 | 26,3 | 15,3 |
ВАРИАНТ 2
1. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии равна 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 15 изделий?
2. Вероятность отказа прибора за время истечения на надежность равна 0,2. Построить закон распределения случайной величины Х - числа отказавших приборов, если испытанию будут подвергнуты четыре прибора. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =8 и среднее квадратическое отклонение =3 нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (8; 14);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =4;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
12,6 | 14,6 | 16,6 | 18,6 | 20,6 | 22,6 | 24,6 | |
3 | 12 | 15 | 40 | 17 | 8 | 5 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
|
|
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 15 | 17 | 15 | 18 | 19 | 21 | 20 | 19 | 17 | 16 |
y | 17,1 | 18,2 | 16,9 | 19,4 | 20,1 | 24,0 | 23,1 | 19,0 | 17,5 | 18,0 |
ВАРИАНТ 3
1. Найти: а) вероятность, что при десяти бросаниях монеты герб выпадет десять раз; б) вероятность выпадения герба при десятом бросании, если перед этим девять раз выпал герб.
2. Игральная кость брошена три раза. Написать ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений шестерки. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =10 и среднее квадратическое отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (9; 12); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =2;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
12,1 | 14,1 | 16,1 | 18,1 | 20,1 | 22,1 | 24,1 | |
4 | 16 | 40 | 25 | 7 | 5 | 3 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 12 | 10 | 13 | 11 | 10 | 14 | 15 | 16 | 13 | 12 |
y | 27,9 | 22,0 | 30,5 | 25,4 | 24,1 | 34,0 | 35,2 | 39,2 | 29,7 | 28,0 |
ВАРИАНТ 4
1. Приобретено 5 приборов. Для каждого из них вероятность невыхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,8. Определить вероятность того, что: а) три прибора в течении гарантийного срока не выйдут из строя; б) не менее 3-х приборов не выйдет из строя; в) не более 2-х и не менее 4-х приборов не выйдут из строя.
|
|
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего для первого станка 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =11 и среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (13; 18);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =4;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
8,1 | 9,1 | 10,1 | 11,1 | 12,1 | 13,1 | 14,1 | |
3 | 7 | 10 | 40 | 20 | 12 | 8 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 14 | 12 | 13 | 17 | 12 | 15 | 16 | 18 | 17 | 13 |
y | 22,0 | 16,9 | 20,0 | 28,5 | 17,0 | 26,5 | 27,0 | 30,1 | 27,9 | 18,0 |
ВАРИАНТ 5
1. Вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании равна 0,75. Вычислить вероятность того, что при 48 испытаниях событие А наступит а) ровно 30 раз, б) наступит не менее 25 и не более 40 раз.
2. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа появлений события А. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =14 и среднее квадратическое отклонение =1 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (8; 18);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =2;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
11 | 16 | 21 | 26 | 31 | 36 | 41 | |
5 | 10 | 15 | 40 | 18 | 9 | 3 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 16 | 14 | 15 | 17 | 19 | 18 | 20 | 19 | 17 | 15 |
y | 17,0 | 13,4 | 15,2 | 18,2 | 22,5 | 20,0 | 25,0 | 23,0 | 18,4 | 14,9 |
ВАРИАНТ 6
1. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей – 3%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие нестандартно.
2. В урне четыре шара с номерами 1, 2, 3, 4. Наудачу берем два шара. Случайная величина Х – сумма номеров шаров. Составить закон распределения Х. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =13 и среднее квадратическое отклонение =3 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (10; 16);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =2;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
13,3 | 13,8 | 14,3 | 14,8 | 15,3 | 15,8 | 16,3 | |
7 | 11 | 22 | 40 | 9 | 7 | 4 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 19 | 20 | 22 | 23 | 21 | 24 | 20 | 24 | 19 | 23 |
y | 21,0 | 22,9 | 26,9 | 30,9 | 25,1 | 33,0 | 23,5 | 33,2 | 22,1 | 31,2 |
ВАРИАНТ 7
1. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8; вторым – 0,9; третьим – 0,85. Найти вероятность того, что а) все три стрелка поразят мишень, б) только два стрелка попадут в цель.
2. Приобретено четыре лотерейных билета. Составить ряд распределения числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если вероятность выигрыша по одному билету 0,3. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =12 и среднее квадратическое отклонение =2 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (9; 17);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =3;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | |
4 | 11 | 25 | 30 | 15 | 10 | 5 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 21 | 22 | 25 | 21 | 23 | 25 | 26 | 24 | 23 | 26 |
y | 7,9 | 11,0 | 21,0 | 8,5 | 14,2 | 20,0 | 24,1 | 17,1 | 15,0 | 23,9 |
ВАРИАНТ 8
1. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% средней. Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации 0,9, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации 0,8. Определить вероятность, что случайно взятый прибор будет надежным.
2. В урне пять белых и десять черных шаров. Вынули два шара. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =5 и среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (4; 11);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =3;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | |
5 | 6 | 9 | 40 | 20 | 14 | 6 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 22 | 23 | 26 | 24 | 27 | 27 | 25 | 28 | 29 | 30 |
y | 6,0 | 8,1 | 14,5 | 10,5 | 16,5 | 1,0 | 12,1 | 18,5 | 20,2 | 22,0 |
ВАРИАНТ 9
1. Было посажено 28 семян ячменя с одной и той же вероятностью всхожести для каждого. Какова эта вероятность, если наиболее вероятные числа положительных результатов 17 и 18?
2. Баскетболист делает два штрафных броска. Вероятность попадания в корзину при одном броске 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий мяча в корзину. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =10 и среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (8; 16);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =2;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
10,2 | 15,2 | 20,2 | 25,2 | 30,2 | 35,2 | 40,2 | |
4 | 12 | 14 | 40 | 15 | 8 | 7 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 27 | 26 | 29 | 28 | 22 | 28 | 27 | 29 | 25 | 31 |
y | 6,5 | 5,0 | 8,3 | 7,4 | 4,0 | 7,2 | 6,5 | 8,4 | 4,0 | 10,0 |
ВАРИАНТ 10
1. В цехе три группы автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы отлично друг от друга. Известно, что станки первой группы производят 90% деталей первого сорта, второй группы – 85% и третьей группы – 80%. Все произведенные за смену детали в нерассортированном виде поступили на склад. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется первого сорта, если станков первой группы 5 штук, второй – 4 и третьей – 1.
2. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить ряд распределения числа бракованных изделий из шести взятых наугад. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности , числовые характеристики М, D. Построить графики функций и .
4. Задано математическое ожидание =15 и среднее квадратическое отклонение =2 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
1) вероятность того, что значения Х попадут в интервал (8; 19);
2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше =2;
3) найти интервал, в который с вероятностью р =0,9973 попадут значения Х.
5. Найти выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки, где – выборочные варианты, - соответствующие частоты количественного признака . Построить полигон частот.
9 | 15 | 21 | 27 | 33 | 39 | 45 | |
8 | 10 | 22 | 40 | 10 | 8 | 2 |
6. Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
а) Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.
б) Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.
в) Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.
x | 13 | 14 | 12 | 16 | 20 | 19 | 17 | 18 | 17 | 15 |
y | 9,9 | 12,0 | 8,1 | 16,5 | 24,5 | 22,0 | 18,2 | 20,5 | 18,5 | 14,2 |
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
1 Случайные события. Задачи типа 1