Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждому событию А ставят в соответствие число – количественную меру объективной возможности его появления, которое называется вероятностью события А. Обозначают Р (А) и вычисляют различными способами.

При классическом определении вероятность события А определяется равенством Р (А) = , где m – число исходов испытания, благоприятствующих событию А, т.е. в этих исходах событие А появилось, n – общее число равновозможных и единственно возможных исходов испытания.

Пример.  Брошена  одна  игральная  кость.  Найти вероятность события А: выпадет четное число очков.

Решение. Общее число исходов испытания n = 6. Благоприятствовать событию А будут 3 исхода из 6 возможных, когда в результате испытания выпадет 2, 4 или 6 очков, т.е. m = 3. Тогда Р (А)

Пример.   Брошена  одна  монета  2  раза.  Найти  вероятность  события   А: герб выпадет оба раза.

Общее число исходов испытания n = 4: герб выпадет и первый, и второй раз; решка выпадет первый раз, герб – второй раз; герб выпадет первый раз, решка – второй раз; оба раза выпадет решка. Событию А благоприятствует один случай из этих четырех, т.е. Р (А) = .

Из классического определения следуют свойства вероятности:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность случайного события А есть число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0 < Р (А) < 1.

Относительной частотой события А называется отношение числа m опытов, в которых событие А появилось, к числу n фактически проведенных опытов:

.

При большом числе однородных испытаний относительная частота события W (A) обладает свойством устойчивости, незначительно изменяясь в каждой серии опытов.

Статистической вероятностью события А называется число, около которого группируются относительные частоты.

Пример.  Произведено 10 серий бросаний монеты по 1000 бросаний в каждой серии. Относительные частоты появлений герба оказались равными: 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти значения группируются около числа 0,5, что является вероятностью выпадения герба при одном бросании монеты.  Следовательно,  при  большом  числе  испытаний Р (А) ≈ W (A).

Элементы комбинаторики.

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий задачи о количестве комбинаций определенного типа, которые можно составить из конечного числа n элементов по некоторому правилу.

Перестановки – комбинации, состоящие из n элементов исходного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Обозначаются Р _n – число всех возможных перестановок из n элементов.

Если все n элементов различны, то число всех перестановок без повторений определяется формулой Р _n = n!, где n! = 1·2·3·…·n – произведение n первых чисел натурального ряда.

Пример.  Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяются?

Чисел будет столько, сколько будет перестановок без повторений из четырех элементов: Р ₄ = 4! = 1·2·3·4 = 24.

Размещения – комбинации из n элементов по m элементов (m < n), отличающиеся либо их порядком, либо самими элементами.

Обозначаются  – число всех размещений из n элементов по m элементов. Число размещений без повторений элементов определяется по формуле:

.

Пример. Количество двузначных чисел, составленных из трех цифр 1, 2, 3 по две без повторений равно .

Сочетания – комбинации из n элементов по m элементов (m < n), отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом.

Обозначаются  – число всех сочетаний из n элементов по m элементов.

Число сочетаний без повторений элементов определяется по формуле:

.

Пример.  Сколько существует вариантов при заполнении карточки спортлото «6 из 45»?

.

Правило произведения: если множество А содержит n элементов т.е. ; множество В содержит m элементов, т.е. , то множество С всех возможных пар  содержит  элементов.

Формулы комбинаторики применяются при вычислении вероятностей событий.

Основные теоремы теории вероятностей.  

Произведением событий А ∙ В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В в одном испытании.

Суммой событий А + В называется событие, состоящее в том, что произошло или событие А, или событие В, или оба вместе.

События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. В противном случае события зависимые.

Условной вероятностью события В называется его вероятность, вычисленная в предположении, что событие А произошло; обозначается Р_А (В). Если события А и В независимые, то Р_А (В)= Р (В).

Пример. В урне 12 шаров: 5 белых и 7 черных. Наудачу берут один за другим 2 шара. Пусть событие А: взят белый шар; событие В: взят черный шар.

Если шар, который взяли первым, возвращают в урну, то вероятность цвета второго шара не зависит от того, какого цвета был первый шар.

Если первый шар не возвращается в урну, то вероятность цвета второго шара зависит от результата первого испытания:

- если первым взяли белый шар, то вероятность вынуть вторым черный шар

;

- если первым взяли черный шар, то вероятность вынуть вторым черный шар 

.

Следовательно, вероятность события В зависит от появления или не появления события А, т.е. события А и В зависимы.