Теоретический справочник

1. При решении неравенства вида a^f⁽^x⁾> a^g⁽^x⁾ следует помнить, что показательная функция

y = a^x возрастает при a > 1 и убывает при 0 <a <1. Для его решения исследуем знак разности a^f⁽^x⁾ − a^g⁽^x⁾.

Итак, выясним, что следует из того, что a^f⁽^x⁾ − a^g⁽^x⁾> 0.

Если a > 1, то f (x)> g (x), а это значит, что (a – 1) (f (x) – g (x))> 0.
Если 0 <a <1, то f (x) <g (x), и опять (a – 1) (f (x) – g (x))> 0.

Верно и обратное. Если (a – 1) (f (x) – g (x))> 0, то при a> 1 имеем f (x)> g (x), то есть a^f⁽^x⁾> a^g⁽^x⁾, а при 0 <a <1 получаем f (x) <g(x), то есть a^f⁽^x⁾> a^g⁽^x⁾.

Таким образом, знак разности a^f⁽^x⁾ − a^g⁽^x⁾ совпадает со знаком выражения (a – 1) (f (x) – g (x)). А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

a^f⁽^x⁾ > a^g⁽^x) (a – 1) (f (x) – g (x)) > 0.

2. Рассмотрим теперь неравенство log_af(x)> 0 (<0) a > 0 и найдем соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f(x)> 0.

Если a> 1, то log_af(x)> 0(<0) тогда и только тогда, когда f (x)> 1 в ОДЗ (f(x) <1), то есть (a – 1) (f (x) – 1)> 0 (<0).
Если 0 <a <1, то logaf(x)> 0(<0) тогда и только тогда, когда f (x) <1 в ОДЗ (f(x)> 1), то есть опять (a – 1) (f (x) – 1)> 0 (<0).

Верно и обратное, если (a – 1) (f (x) – 1)> 0 (<0), то при a > 1 имеем f (x)> 1 в ОДЗ (f(x) <1), а при 0 <a <1 имеем f (x) <1 в ОДЗ (f (x)> 1).

Таким образом, получаем следующие условия равносильности:

Знак log_af(x) совпадает со знаком выражения (a - 1) (f (x) - 1) в ОДЗ (f (x)> 0).

3. При решении неравенства вида log_af(x)> log_ag(x) следует помнить, что логарифмическая функция y = log_ax возрастает при a > 1 и убывает при 0 <a <1. Рассмотрим неравенство вида log_af(x)> log_ag(x), где a> 0 a 1, ОДЗ этого неравенства: