Теоретический справочник

Определение. Уравнение или неравенство, в которых, наряду с элементарными функциями, содержатся радикалы, модули и другие функции от неизвестного называются комбинированными или смешанного типа.

Рассмотрим уравнения и неравенства смешанного типа. При решении этих уравнений и неравенств приходится применять комбинации различных приёмов. Решение уравнений или неравенств требует, как правило, некоторых преобразований, после которых оно сведется к простейшему уравнению или неравенству. При проведении преобразований мы изменяем внешний вид уравнения или неравенства (упрощаем уравнение), но при этом можем изменить множество его решений, так как проводим, как правило, неравносильные преобразования.

Изменение множества решений исходного уравнения или неравенства может происходить по двум причинам:

· проводимые с уравнением действия (умножение на функцию, деление, прибавление – вычитание функции, возведение в степень и другие преобразования);

· изменение ОДЗ исходного уравнения за счёт использования в преобразовании новой функции с другой ОДЗ. Здесь возможно, как приобретение корней за счёт расширения ОДЗ, так и потеря корней за счёт сужения ОДЗ исходного уравнения.

Уравнение или неравенство после преобразований, конечно, может оказаться равносильным. Дать общие рекомендации здесь трудно, нужно в каждом конкретном случае следить за тем, чтобы не потерять корни и не приобрести посторонние решения.

Уравнения и неравенства смешанного типа иногда проще решать, рассматривая правую и левую части, как функции.

x₂

x₁

Пусть задано уравнение f(x) = g(x), где f и g – некоторые функции. Его решениями называются все числа x _i, подстановка которых в уравнение превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости графики функций y = f (x) и y = g (x). Тогда можно сказать, что решением уравнения f (x) = g (x) будет совокупность абсцисс { x _i} всех точек пересечения графиков этих функций. В частности, решением уравнения
f (x) = 0 будут все нули функции f (точки пересечения графика функции с осью абсцисс). Если графики функций не пересекаются, то это означает, что задающее эти графики уравнение решений не имеет.

Пусть задано неравенство f (x)> g (x). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству. Построим графики функций y = f (x) и y = g (x) в одной координатной плоскости. Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика y = f (x), лежащих выше соответствующих точек графика y = g (x) на пересечении областей определения функций f и g. Если весь график y = f (x) находится под графиком y = g (x), то неравенство решений не имеет.

Решением нестрогого неравенства f (x) g (x) будут все точки графика y = f (x), лежащие на самом графике y = g (x) или ниже его. Геометрической интерпретацией решения неравенства f (x) g (x) будут абсциссы всех точек графика y = f (x), лежащих ниже соответствующих точек графика y = g (x) на пересечении областей определения функций f и g, а также абсциссы всех точек пересечения графиков y = f (x) и y = g (x).