Формула Грина – Остроградского

Или, как её чаще называют – просто формула Грина, которую обычно записывают для положительного направления обхода контура:
, где – замкнутая область, ограниченная контуром .

Примечание: функции должны быть определены и непрерывны в области и, кроме того, иметь в ней непрерывные частные производные .

Решим наш интеграл по формуле Грина. Сначала найдём частные производные:

И, выбирая привычный порядок обхода области , получаем:

Как видите, решение сильно сократилось, а иногда оно сокращается просто фантастически!

Пример 11

Вычислить криволинейный интеграл по окружности :
а) непосредственно, б) по формуле Грина.

Решение: естественно, здесь не нужно мучиться с дугами (хотя можно) – гораздо проще представить уравнение окружности в параметрической форме, которая уже неоднократно встречалась ранее:

В условии ничего не сказано о направлении обхода контура, но пункт «бэ» толсто намекает, что лучше двигаться против часовой стрелки. К тому же, традиционное возрастание параметра как раз и обеспечивает «виток» именно в этом направлении:

Чертёж, к слову, был вовсе не обязателен, и ввиду простоты контура можно было обойтись и без него. Однако не в этот раз – пожалуйста, ХОРОШО запечатлите эту картинку в своём сознании!

а) Вычислим криволинейный интеграл непосредственно. Алгоритм решения обычный – «начинку» интеграла нужно «заправить» буквой «тэ». Найдём дифференциалы:

и подставим в подынтегральное выражение. Чтобы не запутаться рекомендую оформлять преобразования «простынёй»:

…надеюсь, использованные тригонометрические формулы вы не забудете в любом состоянии =)

Таким образом, криволинейный интеграл:

б) Вычислим интеграл по формуле Грина:
, где – замкнутая область, ограниченная контуром . В данном случае это круг радиуса 2. Но возиться с полуокружностями не придётся и здесь! – поскольку:

и сбылась мечта тунеядца:)

Ответ:

И это не только приятный, но ещё и крайне интересный случай. Если криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то речь заходит об очень крутом свойстве! Рассмотрим две произвольные точки области . Очевидно, что их можно соединить бесчисленным количеством кусочно-гладких маршрутов, не выходящих за пределы области. Так вот – какой бы из этих путей мы ни выбрали, то во всех случаях криволинейный интеграл будет равняться одному и тому же значению!

Вернёмся к только что разобранному примеру и рассмотрим произвольную пару точек, лежащую внутри круга – проще всего взять точки . Теперь вычислим криволинейный интеграл двумя способами:

1) По отрезку прямой . Тут всё элементарно: и:

2) По дуге параболы . В этом случае и:

Самостоятельно вычислите этот же интеграл по дуге кубической параболы . Получится единица.

Или по какой-нибудь простенькой ломаной, например, по ломаной , где . Тоже получится единица!

И вообще – если выбрать любой кусочно-гладкий путь от точки до точки (лежащий в области ), то криволинейный интеграл во всех случаях будет равняться единице! Сколь бы длинным и сложным ни был маршрут.

Иными словами, при описанных выше условиях значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования.

Но открытия только начинаются!

Если , то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных . Данная функция называется потенциальной или просто потенциалом. Как её найти? Очень просто. Нужно решить – дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

Для «начинки» нашего нулевого интеграла таковой функцией является:

И в самом деле, её полный дифференциал:
– в точности подынтегральное выражение.

Ну и, наверное, все уже поняли, что равенство , которое обеспечивает ноль в формуле Грина, есть не что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка.

Более того, для любых двух точек и области криволинейный интеграл – равен постоянной величине, которая не зависит от пути интегрирования.

Так, в нашем примере с точками было совсем не обязательно перебирать множество маршрутов – достаточно найти потенциальную функцию (решив ДУ в полных дифференциалах ) и вычислить криволинейный интеграл по формуле: