Контрольные вопросы по разделу «Введение в математический анализ»

1. Множества. Числовые промежутки.  Понятие функции. Элементарные функции, их свойства и графики.

2. Предел числовой последовательности. Предел функции. Односторонние пределы.

3. Бесконечно большая и бесконечно малая величины. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величиной. Сравнение бесконечно малых величин

4 Теорема о представлении функции как суммы её предела и бесконечно малой величины. Арифметические свойства предела.

5. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

6. Замечательные пределы.

 1.6 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Введение в математический анализ»

Задание 1. Найти пределы.

1.

2.

3.

4.

5.  

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 2. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. 1)    2)

2. 1)    2)

3. 1)          2)

4. 1)    2)

5. 1)         2)

6. 1)      2)

7. 1)        2)

8. 1) 2)

9. 1) 2)

10. 1)      2)

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность.

1. 1)      2)

2. 1)      2)

3. 1)      2)

4. 1)      2)

5. 1)       2)

6. 1)       2)

7. 1)       2)

8. 1)       2)

9. 1)       2)

10. 1)       2)

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ                   переменной

Цель раздела: изучить теоретический материал раздела «Дифференциальное исчисление функции одной переменой» и получить практические навыки в дифференцировании различных функций, а также в исследовании функций и построения их графиков.

Производная

Рассмотрим функцию y = f (x), которая определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале (a, b). Пусть x Î (a, b) — некоторая фиксированная точка интервала (a, b). Дадим аргументу x приращение D x ¹ 0 такое, что x + D x Î (a, b), тогда функция получит соответствующее приращение D y = f (x + D x) – f (x).

Производной функции y = f (x) в точке  называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции  к приращению аргумента  при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке  интервала (a, b), называется дифференцируемой на этом интервале. Для обозначения производной обычно пользуются следующими символами:

                                                    .