2020-05-25
112
При вычислении предела функции следует подставить в функцию предельное значение. Если при этом получим конечное число или бесконечность, то это значение и будет являться пределом функции.
Например, 
Зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями. Если получится неопределенность
то ее следует раскрыть.
Раскрыть неопределенность — это значит вычислить предел, избавляясь от неопределенности с помощью преобразований, либо доказать, что предел не существует.
В некоторых примерах нам также приходится пользоваться переходом к пределу в показателе степени при постоянном основании. Если существует 
, то при постоянном 
имеет место формула 
.
Короче (но менее точно): при постоянном основании можно переходить к пределу в показателе степени. При отыскании пределов вида 
в случае, когда существуют конечные пределы 
и 
, имеет место формула
Замечание: в формуле 
может обозначать и число, и один из символов 
. Если в этой формуле 
а конечен, но не равен 1, то вопрос о пределе 
затруднений не вызывает. Случай, когда 
, а 
, рассматривается далее в типовых заданиях.
Пример 1. А. Доказать, что функции 
и 
являются бесконечно малыми при 
Б. Сравнить бесконечно малые и : 
.
Решение: А. Найдем пределы функций 
и 
при 
; 
Для того чтобы раскрыть полученную неопределенность, надо разделить и числитель, и знаменатель дроби на 
в наивысшей степени, встречающейся в данном выражении, т. е. на 
: 
аналогично получим 
Так как 
то согласно определению, функции 
и 
являются бесконечно малыми при
Б. Для того чтобы сравнить бесконечно малые функции и , надо найти предел их отношения при 
. 
Так как 
то данные функции 
и 
являются бесконечно малыми одного порядка при
Пример 2. Найти пределы функций (не пользуясь правилом Лопиталя).
.
Решение:
1) 
Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю при 
Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим общий множитель, который обращает их в ноль, затем сократим числитель и знаменатель на этот общий множитель. Разложение квадратных трехчленов на множители будем производить с помощью формулы
, где 
.
Найдем корни: 
;
.
Следовательно,
(выполняя задания некоторых вариантов необходимо также использовать формулы сокращенного умножения).
2) 
Числитель и знаменатель этой дроби стремятся к нулю при 
Для того чтобы вычислить этот предел, необходимо избавиться от иррациональности в числителе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное числителю выражение, получим:
Замечание. Аналогично можно избавляться от иррациональности в знаменателе.
3) 
Здесь также имеем неопределенность 
В силу первого «замечательного» предела
и его следствий 
функции 
и 
, 
и , 
и , 
и являются эквивалентными бесконечно малыми при 
, т. е. ~ ; ~ ; 
~ ; ~ .Следовательно, для этих функций применима теорема: если 
~ 
, 
~ 
при 
и существует 
, то 
. Так как при функции 
и 
, 
и — эквивалентные бесконечно малые, т. е. (
~ , 
~ 
),то 
4) 
В таких примерах надо сначала вычислить предел основания степени. Если он отличен от единицы, то выражение не содержит неопределенность, и мы сразу получаем ответ. Если предел основания равен 1, то воспользуемся вторым «замечательным» пределом 
. В нашем случае 
так как 
Обозначим данный предел какой-нибудь буквой, например, буквой J, и приведем его к виду второго «замечательного» предела с помощью следующего технического приема: к дроби, записанной в скобках, прибавим и вычтем единицу, а затем полученное выражение приведем к общему знаменателю следующим образом:
Используем еще один технический прием: возведем выражение в степень 
, а потом встепень 
, чтобы получить вид второго «замечательного» предела 
.Далее, так как согласно второму «замечательному» пределу 
, то 
(см. формулу 
), и, так как 
, следовательно, имеем: 
5) 
В данном примере имеем неопределенность 
. Разложив знаменатель дроби на множители, приведем данный предел к «замечательному» пределу 
, в итоге получим: 
