Решение типовых примеров

Рассмотрим несколько функций и построим их графики.

а) .

Решение: 1. ООФ ;

2. Четность, нечетность: заменим  в выражении, определяющем нашу функцию, на (), получим:

Следовательно, это функция общего вида;

3. Точки пересечения графика с осями координат.

С осью : на оси имеем . Найдем соответствующий этому

значению аргумента : Следовательно, график пересекает ось

 в точке .

С осью : на оси  имеем . Поэтому получаем Следовательно, график пересекает ось в точке с координатами ;

4. Непрерывность, точки разрыва. Рассматриваемая функция имеет точку разрыва, так как в точке знаменатель функции обращается в ноль. Установим характер указанной точки разрыва , используя данное ранее определение непрерывности функции в точке:

Для этого найдем левосторонний и правосторонний пределы. Если , то, полагая , получим:

.

Если же , тогда, полагая , получаем:

Исходя из наших расчетов, получили следующий результат: левосторонний и правосторонний пределы функции в точке равны бесконечности. В точке  имеем разрыв второго рода;

5. Асимптоты. Так как в точке  пределы слева и справа равны бесконечности (мы доказали это в предыдущем п. 4), то прямая  является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную асимптоту . По формулам для асимптот (см. п. 5 в схеме исследования функции), находим  и

;

Значит, прямая  является наклонной асимптотой при  и ;

6. Интервалы монотонности и точки экстремума. Для того чтобы найти экстремумы, найдем сначала первую производную нашей функции:

Приравняем первую производную нулю , тогда      

Решая это уравнение, получаем:

Занесём данные в таблицу, не забыв внести в нее точку разрыва:

 

 

		0		точка разрыва		0
		–24 max				0 min

 

Функция возрастает на интервалах , убывает — на интервале  

В точке  функция имеет минимум .

В точке  функция имеет максимум ;

7. Интервалы выпуклости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную       

Так как в числителе второй производной стоит постоянное число, то вторая производная не равна нулю ни при каких . Следовательно, точек перегиба нет. Но мы должны исследовать выпуклость и вогнутость около точки разрыва. Занесем данные в таблицу:

 

		точка разрыва

 

8. Для удобства построения и наглядности объединим две таблицы в одну:

		0		точка разрыва		0
		–24 max				0 min

 

Построим график функции:

                        

 

2) .

Решение: Проведем исследование функции по предложенной схеме.

1. ООФ: функция определена везде, т. е. область определения ;

 2. Четность, нечетность. Так как  функция является функцией общего вида;

3. Точки пересечения графика с осями координат.

С осью : при  имеем , следовательно, график пересекает ось  в точке с координатами .

   С осью : при  имеем следовательно, график пересекает ось  в точке с координатами ;

4. Непрерывность, точки разрыва. У данной функции нет никаких точек разрыва, значит, функция непрерывна везде в области определения как произведение непрерывных функций;

5. Асимптоты. Установим наличие вертикальных асимптот. У данной функции нет вертикальных асимптот, так как у неё нет точек разрыва. Найдем наклонные асимптоты. Используем уже известные нам формулы:

                             .

Имеем неопределенность вида , для её раскрытия применяем правило Лопиталя:

( ведет себя по-разному при положительном и при отрицательном ).

При получаем , следовательно, если существует , то мы сможем найти асимптоту. Вспомним формулу для :

Представим выражение под знаком предела в виде частного и применим правило Лопиталя:

       

Теперь подставим найденные значения в формулу, получим . Обращаем внимание на то, что значения  мы имеем только при положительных . Значит только в этом случае мы имеем частный случай наклонной асимптоты — горизонтальную асимптоту . При отрицательных значениях  асимптоты нет, так как в этом случае ;

6) интервалы монотонности и точки экстремума. Вычислим первую производную функции:

Приравняем первую производную нулю , т. е. Отсюда . Занесем данные в таблицу:

		0
		0
		1   max

Производная положительна при , следовательно, этот интервал является интервалом монотонного возрастания функции. Производная отрицательна при , следовательно, этот интервал является интервалом монотонного убывания функции.

,таким образом, точка с координатами  является точкой максимума;

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую производную:

Далее выясним, при каком значении  вторая производная равна нулю: так как  при любых значениях .

 Найдем вторую координату возможной точки перегиба .

Исследуем направление выпуклости слева и справа от этой точки. Занесем данные в таблицу:

 

		0
		точка перегиба

 

Получили, что в этой точке функция действительно меняет направление выпуклости. Значит, точка с координатами  является точкой перегиба .

Для удобства построения и наглядности объединим две таблицы в одну:

		0
		0
		max
			0
			точка перегиба

 

Построим график функции:

                          

3) .

Решение: Проведем исследование функции по предложенной схеме:

1. ООФ: функция существует для всех значений , кроме Область определения ;

2. Четность, нечетность:

следовательно, указанная функция — функция общего вида;

3. Точки пересечения графика с осями координат:

, график пересекает ось  в точке с координатами ;

. Отсюда имеем , график пересекает ось  в точке с координатами . Таким образом, точка является единственной точкой пересечения и с осью  и с осью ;

4. Непрерывность, точки разрыва. Рассматриваемая функция имеет точку разрыва, так как в точке  знаменатель функции обращается в ноль. Найдем односторонние пределы при  и  тем же способом, что и в предыдущих задачах, считая, что , оставаясь положительной, стремится к нулю:

;

.

Мы получили, что левосторонний и правосторонний пределы в данной точке равны бесконечности, следовательно, в точке  имеем разрыв второго рода;

5. Асимптоты. Так как в точке  предел , то прямая  является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонную асимптоту :

 Следовательно, имеем . Значит, прямая  является частным случаем наклонной асимптоты — горизонтальной асимптотой. Прямая  параллельна оси ;

6. Интервалы монотонности и точки экстремума. Найдем первую производную:

.

В точке  может быть экстремум. Занесем данные в таблицу, не забыв внести в нее точку разрыва:

				точка разрыва
		min

 

Функция возрастает в интервале .Функция убывает в интервале ,

7. Интервалы выпуклости, точки перегиба. Найдем вторую производную:

Вторая производная равна нулю при . Проверим, является ли эта точка точкой перегиба. Занесем данные в таблицу, не забыв внести в нее точку разрыва:

 

				точка разрыва
		точка перегиба

Итак, в точке с координатой  имеем перегиб. Найдем вторую координату этой точки: Следовательно, точка перегиба имеет координаты .Для удобства построения и наглядности объединим две таблицы в одну:

 

						точка разрыва
				min
		0
		точка перегиба

 

Построим график функции на основе наших результатов: