Интегрирование рациональных дробей

Простейшей дробью называется рациональная дробь одного из следующих четырех типов: I. . II. .

III. . IV. .

Здесь , , , , , — действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т.е. .Для нахождения коэффициентов разложения применяют метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод частных значений основан на том, что если два многочлена равны, то они равны при любых значениях аргумента.

Метод неопределенных коэффициентов основан на сравнении коэффициентов при одинаковых степенях левой и правой частей, т.е. если два многочлена равны, то, соответственно, равны их коэффициенты при одинаковых степенях .

Пусть требуется проинтегрировать правильную рациональную дробь. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называетсяотношение двух многочленов Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе.

Если знаменатель правильной дроби разложен на множители первой степени вида , множители ой степени и множители второй степени вида с отрицательным дискриминантом , то дробь раскладывается на сумму простейших дробей. При этом:

* множителю знаменателя соответствует простейшая дробь ;

* множителю знаменателя соответствует сумма простейших дробей: ;

* множителю знаменателя, , соответствует простейшая дробь .

Для отыскания неизвестных коэффициентов в числителях применяется метод неопределенных коэффициентов.

· дробь представляется в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами в числителях.

· эта сумма приводится к общему знаменателю (который совпадает со знаменателем исходной дроби).

· приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях числителя исходной дроби и числителя, полученного при приведении к общему знаменателю. Это дает систему линейных управлений для отыскания неизвестных коэффициентов.

· После того, как коэффициенты найдены, каждая простейшая дробь интегрируется стандартным способом.

Именно,

,

, , наконец,

находится путем выделения в числителе производной знаменателя, а затем выделения полного квадрата в знаменателе.

Пример 9. Найти интеграл: .

Решение: Множителю знаменателя соответствует простейшая дробь .

Множителю соответствует сумма простейших дробей: . Таким

образом,

Приводим сумму в правой части к общему знаменателю:

Таким образом, .

Из равенства дробей c одинаковыми знаменателями вытекает равенство их числителей, а значит, равенство коэффициентов при одинаковых степенях :

Итак,

Пример 10. Найти интеграл: .

Решение: Множителю знаменателя соответствует простейшая дробь . Множителю , имеющему отрицательный дискриминант, соответствует простейшая дробь . Следовательно,