Аналогично определяются несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования

где – произвольное действительное число.

Данные интегралы называют также интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения для неотрицательной при функции несобственный интеграл представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции слева отрезком прямой снизу осью

Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция непрерывна для всех значений , кроме точки в которой имеет бесконечный разрыв.

Определение 1. Несобственный интеграл от неограниченной функции (или несобственный интеграл второго рода) определяется так:

где произвольная бесконечно малая величина.

Определение 2. Если оба предела в правой части этого равенства существуют, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае (т.е. если не существует хотя бы один из указанных пределов) – расходящимся.

При и несобственные интегралы равны

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:.

Решение:

Таким образом, несобственный интеграл сходится, и его значение равно .

При нахождении последнего предела мы воспользовались тем, что .

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Решение: Учитывая, что , так что , имеем:

поскольку ; (см. рис.13, 14).

Рис. 13 Рис. 14

Конечного предела не существует, поэтому несобственный интеграл расходится.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:.

Решение: Поскольку в точке принадлежащей промежутку интегрирования, функция терпит бесконечный разрыв, то интеграл относится к несобственным интегралам второго рода и вычисляется по формуле