Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Несобственные интегралы»

Задание 22. Вычислить несобственный интеграл.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .

Задание 23. Вычислитьнесобственный интеграл или доказать его расходимость .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Цель курса. Изучение функкций нескольких переменных, включая их жифференцирование и исследование на экстремум.

 6.1. Частные производные

Линией уровня функции u = f (x, y) называется линия f (x, y) = C на плоскости Oxy, в точках которой функция  сохраняет постоянное значение C = const.

Поверхностью уровня функции u = f (x, y, z) называется поверхность f (x, y, z) = C, в точках которой функция  сохраняет постоянное значение C = const.

Частной производной от функции  по независимой переменной  называется конечный предел

,вычисленный при постоянном .

Частной производной по переменной  называется конечный предел

,вычисленный при постоянном .Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Применяются следующие обозначения: , .

Полный дифференциал

Полным приращением функции u = f (x, y) в точке M(x, y) называется разность

,

где  и  — произвольные приращения аргументов.

Функция u = f (x, y) называется дифференцируемой в точке f (x ₀, y ₀), если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где  и  — постоянные (зависящие от координат точки (x ₀, y ₀)).

Полным дифференциалом функции u = f (x, y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов  и , т.е. .

Полный дифференциал функции u = f (x, y) вычисляется по формуле .

Аналогично полный дифференциал функции трех аргументов  вычисляется по формуле .

При достаточно малой величине  для дифференцируемой функции  справедливы приближенные равенства

 и .