2020-05-25
360
Если правая часть уравнения 
представляет собой сумму двух функций 
, а 
и 
— частные решения уравнений 
и 
, то функция 
является частным решением данного уравнения.
Пример 8. Найти методом неопределенных коэффициентов общее решение дифференциального уравнения:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение.
1) . Общее решение неоднородного уравнения имеет вид: 
. Сначала найдем решение 
однородного уравнения 
. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
, 
, следовательно 
(табл. 1).
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения 
. Правая часть имеет вид:
.
Сравниваем с формулой (20), определяем, что 
, 
, значит контрольное число 
, оно не совпадает с корнями характеристического уравнения. 
, 
, следовательно 
. Согласно формуле (21), частное решение имеет вид:
.
Для нахождения 
и 
подставим в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Это удобно делать с помощью таблицы, в которой слева записывают частное решение и его производные с их коэффициентами, справа — выражения этих функций через неизвестные коэффициенты А и В.
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Просуммированные строки приравниваем к правой части 
, получаем
.
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
:
| 
|
| 
|
Тогда 
, 
, следовательно 
. Запишем общее решение неоднородного уравнения в виде суммы и .
.
2) . Найдем решение однородного уравнения 
. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
, , следовательно 
(табл. 1).
Найдем частное решение . Правая часть имеет вид 
, следовательно 
, , контрольное число 
, оно совпадает с одним из корней характеристического уравнения . 
, 
, следовательно 
, и согласно формуле (22), частное решение имеет вид:
.
Для нахождения подставим в исходное уравнение .
| 
|
| 
|
|
| 
|
| + +
|
Просуммированные строки приравниваем к правой части , получаем
.
Сократим выражение на 
и приведем подобные:
;
.
Следовательно, 
. Запишем общее решение неоднородного уравнения:
.
3) 
. Найдем решение однородного уравнения 
. Характеристическое уравнение имеет корни 
, следовательно
.
Найдем частное решение . Правая часть 
, следовательно, 
, 
, контрольное число 
. Его нет среди корней характеристического уравнения. 
; 
; 
, следовательно 
и значит, по формуле (21):
.
Для нахождения и подставим в исходное уравнение .
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|  +
 
|
Просуммированные строки приравниваем к правой части . Сократим выражение на 
и упростим, затем приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях:
.
Решаем систему и находим 
; 
, следовательно,
.
Запишем общее решение уравнения
.
Пример 9. Для предложенных дифференциальных уравнений составить вид частного решения (коэффициенты находить не надо):
1) 
;
2) 
;
3) 
, 4) 
.
Решение.
1) . Составим соответствующее однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Правая часть имеет вид 
. Так как , , то контрольное число 
не совпадает с корнями характеристического уравнения. Многочлен 
, 
, поэтому . Согласно формуле (21), частное решение имеет вид:
.
2) . Составим соответствующее однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни , 
. Правая часть имеет вид 
. Следовательно , , контрольное число 
совпадает с одним из корней характеристического уравнения. Многочлен 
, поэтому 
. Согласно формуле (22), частное решение имеет вид:
.
3) . Соответствующее однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Правая часть имеет вид 
. Так как , 
, то контрольное число 
совпадает с одним корнем характеристического уравнения. 
, 
, следовательно и согласно формуле (22), частное решение имеет вид:
.
4) 
. Составим соответствующее однородное уравнение. 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни, 
. Правая часть имеет вид 
. Так как 
, , то контрольное число 
совпадает с корнями характеристического уравнения 
. Многочлен 
, поэтому , 
. Согласно формуле (23), частное решение имеет вид:
.
