Определение неявной функции. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Цели занятия:
Должен уметь: Находить производные от неявных функций и заданных параметрически.
Должен знать: Определение неявной функции. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Дифференциал функции.
Если функция имеет конечную производную в точке х, то полное приращение функции можно записать в виде
где a ®0, при D х ®0.
Дифференциалом функции в точке х называется главная, линейная относительно D х, часть полного приращения функции и обозначается или .
Из определения следует, что или . Можно также записать:
Свойства дифференциала.
Если , – функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
11) , где
12)
13)
14)
15)
16)
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть .
Предположим, что эти функции имеют производные и функция имеет обратную функцию . Тогда функция может быть рассмотрена как сложная функция .
|
|
т.к. Ф (х) – обратная функция, то . Окончательно получаем:
Контрольные вопросы
1. Определение неявной функции.
2. Дифференцирование неявной функции.
3. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Тема 1.3. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
Уравнение касательной к кривой. Нормаль к кривой. Уравнение нормали. Угол между двумя кривыми.
Цели занятия:
Должен уметь: составлять уравнение касательной и нормали; находить угол между двумя кривыми.
Должен знать: как составлять уравнение касательной и нормали; по какой формуле находить угол между двумя кривыми.