Основные правила дифференцирования

Оглавление

Введение	3
Раздел 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.	4
Тема 1.1. Дифференцирование явных функций.	4
Тема 1.2. Дифференцирование неявных функций.
Тема 1.3. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
Тема 1.4. Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков.
Раздел 2.Дифференциальное исчисление функции многих переменных
Тема 2.1. Полный дифференциал.
Раздел 3. Неопределенный интеграл.
Тема 3.1. Интегрирование по частям.
Тема 3.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.
Раздел 4. Определенный интеграл.
Тема 4.1. Вычисление площади плоской фигуры и поверхности вращения.
Раздел 5. Численные методы решения прикладных задач
Тема5.1.Приближенное решений уравнений. Интерполирование.
Тема.5.2. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
Список литературы

Раздел 1. Дифференциальное исчисление функции одной

Переменной.

Тема 1.1. Дифференцирование явных функций.

Производная. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня. Производная сложной функции. Производные логарифмических, показательных и тригонометрических функций.

Цели занятия:

Должен уметь: вычислять производные функций.

Должен знать: определение производной функции; таблицу производных. Основные правила дифференцирования.

Производная функции.

Пусть x ₁ и x ₂ – значения аргумента, а  и  – соответствующие значения функции . Разность  называется приращением аргумента, а разность  – приращением функции на отрезке

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Геометрический смысл.

Производная функции  в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке , т.е. , где a – угол наклона касательной к графику функции  в точке М ₀.

Физический смысл.

Предположим, что функция  описывает закон движения материальной точки по прямой линии, т.е.  – путь, пройденный этой точкой от начала отсчета за время t. Тогда за время t ₀ пройден путь , а за время t ₁ – путь . За промежуток времени  точка пройдет отрезок пути .

Отношение  выражает среднюю скорость движения материальной точки за время .

Предел отношения  при  называется мгновенной скоростью движения материальной точки в момент времени t ₀. Поскольку , то физический смысл производной функции  – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции – ускорение.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим ,  и  – функции, дифференцируемые в точке х.

1) , где С – постоянная величина.

2)

3)

4)

5)

6)

7) , если v ¹ 0

8)

9)

10) Если , , т.е. , то  – производная сложной функции.

Таблица производных.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16) Пусть , , тогда

Контрольные вопросы

1. Производная.

2.  Основные правила дифференцирования.

3. Производные степени и корня.

4. Производная сложной функции.

5.  Производные логарифмических, показательных и тригонометрических функций.